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Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t

f x - f t ≤ x - t 2

Calcule f ' x .

Passo 1

Podemos dividir ambos os lados da inequação por x - t :

f x - f t x - t ≤ x - t 2 x - t

f x - f t x - t ≤ x - t

Como a inequação vale para quaisquer x e t , vamos reescrever x = x + h e t = x , olha só:

f x + h - f x ( x + h ) - x ≤ ( x + h ) - x

f x + h - f x h ≤ h

Passo 2

Agora, usamos o teorema do sanduíche, tomando o limite quando h → 0 :

0 ≤ f x + h - f x h ≤ h

0 ≤ lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h ≤ lim h → 0 ⁡ h

0 ≤ lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h ≤ 0

Portanto, lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = 0 , o que implica que:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = 0

f ' x = 0

Resposta

f ' x = 0

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