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Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 12.1 - 25

Seja F ( u , v ) diferenciável em R 2 , com ∂ F ∂ v u , v ≠ 0 para todo ( u , v ) . Suponha que, para todo ( x , y ) , F x y , z = 0 , onde z = z ( x , y ) . Mostre que

x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0

Passo 1

A questão fornece uma função F = F ( u , v ) diferenciável e diz que F x y ,   z = 0 , onde z é uma função de x e y . O problema pede para mostrarmos que

x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0

Para isso, vamos escrever u = x y e v = z . Desta forma, a relação F x y , z = 0 pode ser reescrita como

F u , v = 0

O que iremos fazer é derivar essa expressão tanto com relação a x como com relação a y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Derivando a expressão com relação a x :

∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x = 0

Mas como v = z e u = x y , temos que

∂ u ∂ x = y       e     ∂ v ∂ x = ∂ z ∂ x

Portanto, temos que

y ∂ F ∂ u + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ z ∂ x = 0 ⇒ ∂ z ∂ x = - y ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v

Analogamente para y :

∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y = 0

Assim,

x ∂ F ∂ u + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ z ∂ y = 0 ⇒ ∂ z ∂ y = - x ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v

Passo 3

Por fim, vamos usar as informações obtidas no passo anterior para calcular

I = x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y

Desta forma,

I = x ⋅ - y ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v - y ⋅ - x ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v = x y   ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v - x y ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v = 0

Portanto,

x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0

Resposta

Demonstração.

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