Enunciado

É dada uma curva γ ( t ) cuja imagem é a intersecção das superfícies 4 x 2 + y 2 = 1 e x + y + z = 1 . Suponha γ t 0 = ( 0 ,   1 ,   0 ) e γ ' t 0 ≠ 0 → .

a) Determine a reta tangente a γ em γ ( t 0 ) .

b) Determine uma parametrização para a intersecção acima.

Passo 1

A questão pede para acharmos a equação da reta tangente a uma curva que é dada pela intersecção de duas superfícies no ponto 0 ,   1 ,   0 . Para isso, vamos precisar achar o vetor tangente à curva nesse ponto.

O primeiro passo é reescrever as superfícies como se fossem superfícies de nível de funções de três variáveis:

f x , y , z = 4 x 2 + y 2 - 1

g x , y , z = x + y + z - 1

Os gradientes dessas funções darão os vetores normais aos respectivos planos tangentes:

∇ g x , y , z = 8 x , 2 y , 0 ⇒ ∇ f 0 ,   1 ,   0 = 0 ,   2 ,   0

∇ f x , y , z = 1 , 1 , 1 ⇒ ∇ g 0 ,   1 ,   0 = ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 2

O vetor tangente à curva dada pela intersecção de duas superfícies será ortogonal ao vetor normal de cada superfície. Assim, ele pode ser obtido pelo produto vetorial desses dois vetores:

γ ' t 0 = 0 ,   2 ,   0 × 1 ,   1 ,   1 = i → j → k → 0 2 0 1 1 1

Portanto,

γ ' t 0 = ( 2 ,   0 ,   - 2 )

Por simplicidade, como só estamos interessados na direção desse vetor, vamos escolher u → = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) como vetor diretor para a reta tangente.

Passo 3

A equação da reta é dada por

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + λ u →

Assim,

x , y , z = 0 ,   1 ,   0 + λ ( 1 , 0 ,   - 1 )

Passo 4

Para o item (b) nós precisamos achar uma parametrização para essa curva. Sabemos que ela satisfaz as equações

4 x 2 + y 2 = 1 x + y + z = 1

Na primeira equação nós podemos tomar

x = 1 2 cos ⁡ t         e           y = s e n   t

Assim, na segunda equação tiramos

z = 1 - x - y = 1 - 1 2 cos ⁡ t - s e n   t

Portanto, a parametrização pedida é

γ t = 1 2 cos ⁡ t ,   s e n   t ,   1 - 1 2 cos ⁡ t - s e n   t

Resposta

x , y , z = 0 ,   1 ,   0 + λ ( 1 ,   0 , - 1 )

γ t = 1 2 cos ⁡ t ,   s e n   t ,   1 - 1 2 cos ⁡ t - s e n   t

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