Enunciado

Seja F ( u , v ) diferenciável em R 2 , com ∂ F ∂ v u , v ≠ 0 para todo ( u , v ) . Suponha que, para todo ( x , y ) , F x y , z = 0 , onde z = z ( x , y ) . Mostre que

x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0

Passo 1

A questão fornece uma função F = F ( u , v ) diferenciável e diz que F x y ,   z = 0 , onde z é uma função de x e y . O problema pede para mostrarmos que

x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0

Para isso, vamos escrever u = x y e v = z . Desta forma, a relação F x y , z = 0 pode ser reescrita como

F u , v = 0

O que iremos fazer é derivar essa expressão tanto com relação a x como com relação a y .

Passo 2

Derivando a expressão com relação a x :

∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x = 0

Mas como v = z e u = x y , temos que

∂ u ∂ x = y       e     ∂ v ∂ x = ∂ z ∂ x

Portanto, temos que

y ∂ F ∂ u + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ z ∂ x = 0 ⇒ ∂ z ∂ x = - y ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v

Analogamente para y :

∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y = 0

Assim,

x ∂ F ∂ u + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ z ∂ y = 0 ⇒ ∂ z ∂ y = - x ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v

Passo 3

Por fim, vamos usar as informações obtidas no passo anterior para calcular

I = x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y

Desta forma,

I = x ⋅ - y ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v - y ⋅ - x ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v = x y   ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v - x y ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v = 0

Portanto,

x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Admita que, para todo (x,y), 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0 . Prove que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 . (Sugestão. Observe que a função g do exercício anterior fornece os valor
14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
19. f ( t ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que g t ,f t = 0 , para todo t . Suponha f 0 = 1 , ∂ g ∂ x 0,1 = 2 e ∂ g ∂ y 0,1 = 4 . Determine a equação da reta tangente a γ t = t ,f t , n
4. Suponha que, para todo t , f t 2 ,2 t = t 3 - 3 t . mostre que ∂ f ∂ x 1,2 = - ∂ f ∂ y 1,2 .