Enunciado

Seja x = 0,999999 …

a) Você pensa que x < 1 ou x = 1 ?

b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de x .

c) Quantas representações decimais o número 1 tem?

d) Quais os números que têm mais de uma representação decimal?

Passo 1

a) Como o enunciado não nos pede nenhuma análise mais profunda ainda, então a resposta mais sensata é de que x < 1 , uma vez que temos infinitos 9 ' s .

Passo 2

b) Então pessoal, temos que 0,999 … pode ser escrito como:

0,999 … = 0,9 + 0,09 + 0,009 + …

E isso pode ser expresso como uma série geométrica com o primeiro termo a 1 = 0,9 e a razão q = 1 10 . Como a soma que escrevemos é infinita, então é totalmente possível escrever essa mesma soma como uma soma geométrica com intervalo [ 1 ,   n ] , não é mesmo? Em outras palavras:

0,999 … = ∑ n = 1 ∞ 9 10 n

Aqui vale ressaltar que chegaríamos em uma série geométrica mesmo se o enunciado não nos sugerisse. Sabemos que para resolver uma série geométrica devemos fazer:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Reescrevendo a nossa série, teremos:

∑ n = 1 ∞ 9 10 n = ∑ n = 1 ∞ 9 . 1 10 n

Como a = 0,9 , assim como foi dito acima e, ademais, r = 1 10 = 0,1 , então teremos:

∑ n = 1 ∞ 9 . 1 10 n = a 1 - r = 0,9 1 - 0,1 = 0,9 0,9 = 1  

Sendo assim, x = 1 .

Passo 3

c) Agora que acabamos de descobir que 0,999 … também é representado como 1 , então podemos concluir que o número 1 possui duas representações:

x = 1,000 … o u   x = 0,999 …

Passo 4

d) O número que nos foi dado no problema é apenas um exemplo, uma vez que existem infinitos números racionais. Sendo assim, fazendo uma generalização, todos os números racionais que possuem dízimas periódicas como resultado podem ser escritos em mais de uma maneira. Alguns exemplos:

0,4 = 0,3999 … o u   0,4000 …

0,5 = 0,4999 … o u   0,5000 …

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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