Enunciado

Trace a curva em uma janela retangular que mostre todos os aspectos importantes da curva

x = t 4 + 4 t 3 - 8 t 2

y = 2 t 2 - t

Passo 1

Bom, vamos entender que a questão considera como importante que a gente mostre pontos em que a reta tangente da curva é horizontal e vertical.

E já que a ela não deixa muito claro como quer que a gente faça isso, vamos calcular os pontos em que a curva tem retas tangentes horizontais e verticais e depois a gente plota nossa curva de modo a mostrar esses pontos, beleza?

Passo 2

Vamos começar pelos pontos onde nossa reta tangente é horizontal.

Isso ocorre quando

d y d t = 0

Então, vamos fazer aquela mesma ladainha de sempre: achar essa derivada, igualar a zero para encontrar o valor de t em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva para encontrar o ponto correspondente.

Passo 3

y = 2 t 2 - t

d y d t = 4 t - 1 = 0

t = 1 4

Passo 4

Substituindo t = 1 4 na parametrização da curva, temos:

x 1 4 = 1 4 4 + 4 1 4 3 - 8 1 4 2 = - 0,43

y 1 4 = 2 1 4 2 - 1 4 = - 0,125

Portanto, a reta tangente é horizontal no ponto

P 1 = ( - 0,43 ; 0,125 )

Passo 5

Agora vamos ver os pontos onde a reta tangente é vertical.

x = t 4 + 4 t 3 - 8 t 2

d x d t = 4 t 3 + 12 t 2 - 16 t = 0

4 t t 2 + 3 t - 2 = 0

4 t t - 1 t + 4 = 0

Assim,

t = 0

t = 1

t = - 4

Passo 6

Substituindo t = 0 na parametrização da curva, temos:

x 0 = 0 4 + 4 0 3 - 8 0 2 = 0

y 0 = 2 0 2 - 0 = 0

Substituindo t = 1 na parametrização da curva, temos:

x 1 = 1 4 + 4 1 3 - 8 1 2 = - 3

y 1 = 2 1 2 - 1 = 1

Substituindo t = - 4 na parametrização da curva, temos:

x - 4 = - 4 4 + 4 - 4 3 - 8 - 4 2 = - 128

y - 4 = 2 - 4 2 - - 4 = 36

Portanto, a reta tangente é vertical nos pontos

P 3 = ( 0,0 )

P 4 = ( - 3   ; 1 )

P 5 = ( - 128 , 36 )

Passo 7

Show, agora a gente tem que plotar a nossa curva num gráfico que mostre todos esses pontos.

Para isso, precisamos que o intervalo de variação do nosso parâmetro t abranja os valores de t para os quais a curva tem retas tangentes horizontais e verticais.

Esses valores de t são

t = 1 4

t = 0

t = 1

t = - 4

O menor valor de todos é

t = - 4

E o maior valor de todos é

t = 1

Então vamos fazer um gráfico com

t ∈ [ - 5   ; 3 ]

Pra termos uma folguinha...

PS: não fica chateado comigo por ter calculado os pontos exatos onde as retas tangentes horizontais e verticais ocorrem. A gente não precisava necessariamente ter feito isso, mas é bom ter feito pra você poder olhar no gráfico agora e confirmar que nesses pontos de fato tem retas tangentes horizontais e verticais.

Passo 8

Tá, agora vamos plotar nossa curva:

x = t 4 + 4 t 3 - 8 t 2

y = 2 t 2 - t

t ∈ [ - 5   ; 3 ]

Essa janela ficou grandona. Mas podemos dar um zoom nisso pra você conseguir ver melhor os outros pontos também.

E agora ficamos com uma janela retangular que você consegue ver aqueles pontos que eram menores mais de pertinho.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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