Enunciado

Seja f ( x )   =   x 4   +   x 3   +   1 ,         0   ≤   x   ≤   2 .

(a) Mostre que f é injetora.

(b) Seja g x =   f - 1   x   e defina F ( x )   =   f ( 2 g ( x ) ) . Encontre uma equação para a reta tangente a y   =   F (x) em x   =   3

Passo 1

(a)

Primeiro vamos lembrar o que é uma função injetora: é aquela que dado um valor de f ( x ) , só existe um x que leva a função nesse valor.

Pra fazer isso podemos lembrar que se a função é injetora no intervalo, então ela também é estritamente crescente ou estritamente decrescente nesse intervalo, e para isso dizemos que se:

f ' x > 0           o u           f ' x < 0

No intervalo dado, a função é injetiva nesse intervalo.

No nosso caso:

f ' ( x )   =   ( x 4   +   x 3   +   1 ) '

f ' x = 4 x 3 + 3 x 2

Concorda que no nosso caso f ' ( x ) assume apenas valores positivos no intervalo   [ 0,2 ]   ? Isso significa que a função é estritamente crescente nesse intervalo e por isso injetiva, como queríamos mostrar.

Passo 2

(b)

Agora vamos ter que puxar da memória qual é a equação da reta tangente à uma função f ( x ) no ponto x = x 0 :

y   - F ( x 0 )   =   m t g ( x   -   x 0 )

Aonde m t g = F ' x 0 .

E no caso da nossa questão:

x 0 = 3

Então nossa reta tangente tem a seguinte carinha:

y   -   F ( 3 )   =   F ' ( 3 ) ( x   -   3 )

Agora precisamos achar F 3     e     F ' ( 3 ) .

Passo 3

Para achar F 3 temos que fazer assim:

F 3 =   f ( 2 g ( 3 ) )

Mas g x =   f - 1   x     lembra? Então:

F 3 =   f ( 2 f - 1   ( 3 ) )

Para achar f - 1   3   basta trocarmos x   por y na equação original:

y =   x 4   +   x 3   +   1                   ⇒ t r o c a n d o       x =   y 4   +   y 3   +   1

Fazendo x = 3 :

    3 =   y 4   +   y 3   +   1

y 4   +   y 3 = 2

y 3 ( y + 1 ) = 2

Opa opa, percebem que se colocarmos y = 1 dá certo? Então vamos falar que g 3 =   f - 1   3 = 1

Voltando teremos que

F 3 =   f 2 1 = f 2

F 3 = 2 4   +   2 3   +   1 = 25

F 3 = 25

Passo 4

Agora para acharmos F ' 3 vamos usar a regra da cadeia:

F ' x = f 2 g x '

F ' x = 2   g ' x   f ' ( 2 g ( x ) )  

Masssss lembra que g x =   f - 1   x e pela propriedade de funções inversas, vale que:

f g x = x

Derivando essa expressão e usando a regra da cadeira:

f ' g x   g ' x = 1                   ⇒           g ' x = 1 f ' g x

Substituindo na nossa expressão:

F ' x = 2   1 f ' g x   f ' ( 2 g ( x ) )  

Fazendo x = 3 :

F ' 3 = 2   1 f ' ( g 3 )   f ' 2 g 3

Só que lá em cima descobrimos que,   g 3 = 1 :

F ' 3 = 2   1 f ' 1   f ' 2

Achando f ' 2 e f ' 1 :

f ' x = 4 x 3 + 3 x 2         ⇒         f ' 2 = 4 2 3 + 3 2 2           ∴         f ' 2 = 44

f ' x = 4 x 3 + 3 x 2         ⇒         f ' 1 = 4 ( 1 ) 3 + 3 ( 1 ) 2           ∴         f ' 1 = 7

Temos que:

F ' 3 = 2 1 7   44 = 88 7

Passo 5

Substituindo F 3   e F ' ( 3 ) na equação

y   -   25   = 88 7 ( x   -   3 )

Chegamos que a equação para a reta tangente a y   =   F (x) em x   =   3 é:

y   -   25   = 88 7 x - 264 7

y     = 88 7 x + 25 - 264 7

y     = 88 7 x + 89 7

Resposta

  1. Mostrado no desenvolvimento
  2. y     = 88 7 x + 89 7
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