Dada f x = ∫ 2 x 9 + t 4 d t . Prove que f tem uma inversa f^(-1) e calcule (f^(-1))'(0) .

Passo 1

O bizu desta questão é buscar a derivada de f ( x ) sem tentar calcular f ( x ) . Vamos aplicar essa ideia devagar para não nos perdemos!

∫ 2 x 9 + t 4 d t = F x - F ( 2 )

Onde F ( t ) é uma primitiva! Note ainda que F 2 vai ser uma constante embora nos não saibamos seu valor. Assim teremos:

f x = F x - F 2

Derivando dos dois lados:

f ' x = D x F x - F 2

Como já falamos F 2 é constante logo sua derivada é igual a zero. Assim teremos:

f ' x = 9 + x 4

Note para qualquer valor de x real f ' x será positivo ( f ' x > 0 ) !! Logo podemos dizer que f x é crescente no mesmo intervalo, ou seja, nos Reais.

Por outro lado, sabemos que há um teorema que diz que se uma função é crescente (ou decrescente) em um intervalo, ela será bijetora. Deste modo, chegamos a conclusão que f - 1 x existe!

Passo 2

Agora, para prosseguir devemos nos lembrar de que:

f - 1 ' d = 1 f ' c , onde f ( c ) = d .

Então para calcular ( f - 1 ) ' ( 0 ) devemos descobrir c tal que f ( c ) = 0

Lembrando que ∫ a a h ( t ) d t = 0 , podemos notar que f 2 = 0

f 2 = ∫ 2 2 9 + t 4 d t = 0

Logo descobrimos que c = 2

Passo 3

Calculando f ' 2 , teremos:

f ' 2 = 9 + 2 4

f ' 2 = 25 = 5

Sabendo que f - 1 ' 0 = 1 f ' 2 , chegamos em:

f - 1 ' 0 = 1 5

Resposta

f - 1 ' 0 = 1 5

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