Enunciado

Seja f x ,   y = 1 ,           y ≥ x 4                                       1 ,           y ≤ 0                                           0 ,           d e   o u t r a   f o r m a .

Encontre cada um dos limites a seguir ou explique que o limite não existe.

  1. lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ f x ,   y
  2. lim x ,  y → 2 ,   3 ⁡ f x ,   y
  3. lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y

Passo 1

Oi pessoal, espero que estejam ansiosos pra resolver este exercício comigo! Vamos lá.

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y é contínua no ponto x 0 ,   y 0 se:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = f x 0 ,   y 0

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto x 0 ,   y 0 de D .

Porém, se f x ,   y → L 1 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 1 e f x ,   y → L 2 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 2 , com L 1 ≠ L 2 , então lim x ,  y → a ,  b ⁡ f x ,   y não existe.

No item a., temos o limite:

lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ f x ,   y

Podemos observar que x = 0 y = 1 . A única função que representa esse limite é quando y ≥ x 4 , sendo assim, podemos dizer que:

lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ f x ,   y = 1

Passo 2

Já para o item b., temos:

lim x ,  y → 2 ,   3 ⁡ f x ,   y

Onde x = 2 y = 3 , ou seja, não é representado por nenhuma das duas primeiras funções, então podemos dizer que:

lim x ,  y → 2 ,   3 ⁡ f x ,   y = 0

Passo 3

E por fim, para o item c.:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y

Sabemos que x = 0 y = 0 , então ele pode ser representado tanto por todas as funções presentes no enunciado. Logo, o limite não existe.

Tchau galerinha!!

Resposta

  1. lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ f x ,   y = 1 .
  2. lim x ,  y → 2 ,   3 ⁡ f x ,   y = 0 .
  3. O limite não existe.

Exercícios de Livros Relacionados

Mostrar que os limites não existem:g) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^3)/(x^3 + y^2)
Verificar se os seguintes limites existem:d) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (5 y - x)/(2 x - y)
Mostrar que os limites não existem:a) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (3 x y)/(4 x^2 + 5 y^2)
Verificar se os seguintes limites existem:b) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2)