Enunciado

Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos Exercícios 41-48 não têm limite quando x ,   y → 0 ,   0 .

f x ,   y = x 2 + y y

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo! Primeiramente vamos relembrar a definição para o teste dos dois caminhos para não existência de um limite:

Se f x ,   y → L 1 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 1 e f x ,   y → L 2 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 2 , com L 1 ≠ L 2 , então lim x ,  y → a ,  b ⁡ f x ,   y não existe.

Antes de fazermos nosso exercício, vou mostrar um exemplo de um limite que não existe:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2

Primeiro vamos aproximar de 0 ,   0 ao longo do eixo x , tomando y = 0 :

f x ,   0 = x 2 x 2 = 1

Então f x ,   y → 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo x . Agora vamos aproximar ao longo do eixo y , colocando x = 0 , assim:

f 0 ,   y = - y 2 y 2 = - 1

Então f x ,   y → - 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo y . Como tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Então, vamos para o nosso exercício, temos a seguinte função:

f x ,   y = x 2 + y y

O limite não pode ser encontrado por meio de substituição direta, o que nos dá a forma indeterminada 0 / 0 . Ao longo da curva y = k x 2 , temos:

f x ,   k x 2 = x 2 + k x 2 k x 2 = k + 1

Portanto:

lim x ,  y → 0 ,   0 ao longo de  ⁡ y =  k x 2 ⁡ f x ,   y = k + 1

Esse limite varia com o caminho de aproximação. Se x , y se aproxima de 0,0 , ao longo da parábola y = k x 2 , então k = 1 e o limite é 2 . Se x , y se aproxima de 0,0 , ao longo do eixo x , k = 0 e o limite é 1 . Pelo teste dos dois caminhos f não tem limite quando x , y se aproxima de 0,0 .

Resposta

Considerar os caminhos y = k x 2 , k uma constante, k ≠ 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Mostrar que os limites não existem:d) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y)/(x^2 + y^2)
Verificar se os seguintes limites existem:c) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y)/(x^3 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:f) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^2 - 4 y^2)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:h) underset([[x - 1],[y - 0]])(lim) ((x - 1)^2 y)/((x - 1)^4 + y^2)
Verificar se os seguintes limites existem:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)