Verificar se os seguintes limites existem:

d) lim x → 0 y → 0 ⁡ 5 y - x 2 x - y

Passo 1

Vamos supor que o limite não existe, assim para provar isso, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

lim x → 0 y = 0 ⁡ 5 y - x 2 x - y = lim x → 0 y = 0 ⁡ 5 0 - x 2 x - 0 = lim x → 0 ⁡ - x 2 x = lim x → 0 ⁡ - 1 2 = - 1 2

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos y , temos que x = 0 . Logo:

lim x = 0 y → 0 ⁡ 5 y - x 2 x - y = lim x = 0 y → 0 ⁡ 5 y - 0 2 0 - y = lim y → 0 ⁡ 5 y - y = lim y → 0 ⁡ - 5 = - 5

Como os resultados são diferentes, temos que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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