15. Seja z = f(x, y), (x, y) ∈ A, com A aberto. Suponha que ∂f/∂x e ∂f/∂y estão definidas em A e que (∂^2 f) / (∂x ∂y) e (∂^2 f) / (∂y ∂x) são contínuas em A. Seja (x_0, y_0) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro (x_0, y_0) e contida em A . Sejam h e k tais que x_0 + h, y_0 + k pertença a B. Seja, ainda,

H(h, k) = f(x0 + h, y0 + k) - f(x0, y0 + k) - f(x0 + h, y0) + f(x0, y0)

b) Prove: existe t_1 entre x_0 ex_0 + h tal que

φ(x_0 + h) - φ(x_0) = φ'(t_1)h = [(∂f/∂x)(t_1, y_0 + k) - (∂f/∂x)(t_1, y_0)]h.

Passo 1

Do item anterior, sabemos o seguinte:

φ t = f t , y 0 + k - f t , y 0

Logo,

φ x 0 + h = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0    

E

φ x 0 = f x 0 , y 0 + k - f x 0 , y 0

Pelo Teorema do Valor Médio, existe um x 1 no intervalo x 0 ,   x 0 + h tal que:

φ ' t 1 = φ x 0 + h - φ x 0 x 0 + h - x 0

Logo,

φ ' t 1 = φ x 0 + h - φ x 0 h

Passo 2

Pra finalizar, vamos encontrar φ ' t .

φ t = f t , y 0 + k - f t , y 0

Derivando,

φ ' t = ∂ f ∂ x t , y 0 + k - ∂ f ∂ x t , y 0  

Aplicando no ponto t 1

φ ' t 1 = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0

Portanto,

φ x 0 + h - φ x 0 = φ ' t 1 h = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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