Enunciado

65- Seja F x = ∫ 0 x t - 3 t 2 + 7   d t para - ∞ < x < + ∞ .

a)Encontre o valor de x para que F atinge seu valor mínimo.

b)Encontre os intervalos nos quais F é somente crescente ou somente decrescente.

c) Encontre os intervalos abertos nos quais F é somente côncava para cima ou somente côncava para baixo.

Passo 1

a)Galerinha, a primeira coisa que nós temos que fazer aqui é encontrar F ´ ( x ) , mas isso é fácil né?! Porque nós temos a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo que nos diz isso aqui:

d d x ∫ a x f t   d t = f ( x )

Dessa forma,

F ´ x = x - 3 x 2 + 7

Agora, nós precisamos achar os pontos críticos dessa função, que são aqueles em f ´ x = 0 ou os pontos em que f ´ ( x ) não é diferenciável. Certo ?

F ´ x = 0

x - 3 = 0

x = 3

Para x 2 + 7 , f ´ ( x ) não é diferenciável. Então:

x 2 + 7 = 0

No entanto, não existe nenhum valor que satisfaça essa equação. Portanto, só temos um ponto crítico, quando x = 3 .

Para vermos se esse é um ponto em que F atinge seu valor mínimo, nós temos que fazer um estudo de sinal da função. Isso quer dizer que vamos testar um ponto à esquerda do 3 e outro à direita e vermos como F ´ ( x ) se comporta.

-Para x = 0 :

F ´ 0 = - 3 7

-Para x = 4 :

F ´ 4 = 1 23

Bom, como F ´ x vai de um valor negativo para um positivo, em x = 3 a nossa função F ( x ) atinge seu valor mínimo.

Passo 2

b)Crianças, vamos fazer um quadro de sinais para F ´ ( x ) e checar os intervalos onde essa função é crescente ou decrescente:

Dessa forma, a função F ( x ) é crescente no seguinte intervalo:

[ 3 ,   + ∞ )

E, decrescente no seguinte intervalo:

( - ∞ , 3 ]

Passo 3

c)Aqui, vamos achar a segunda derivada de F ( x ) :

F ´ ´ x = x 2 + 7 - 2 x 2 + 6 x x 2 + 7 2 = - x 2 + 6 x + 7 x 2 + 7 2

Bom, nós fizemos isso para fazer o teste da segunda derivada, ou seja, achar os pontos de inflexão, onde a função muda a sua concavidade. Para isso, vamos igualar f ´ ´ ( x ) à zero e, depois fazer um quadro de sinais.

- x 2 + 6 x + 7 = 0

x 1 = - 1   e   x 2 = + 7

Fazendo o quadro de sinais:

Galerissss, quando F ´ ´ x < 0 a nossa função F ( x ) é côncava para baixo, já quando F ´ ´ x > 0 a nossa função F ( x ) é côncava para cima.

Resposta

a) x = 3

b) 3 ,   + ∞ : c r e s c e n t e , - ∞ , 3 : d e c r e s c e n t e .

c) - ∞ ,   - 1 ,   ( 7 ,   + ∞ ) : c ô n c a v a   p a r a   b a i x o , - 1 ,   7 : c ô n c a v a   p a r a   c i m a .

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