Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,   b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x ) = x 2 . Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n = 10 ,   50   e   100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n = 2 ,   5   e   10 retângulos.

f x = cos ⁡ x ; a , b = [ 0 , π 2 ]

Passo 1

Usaremos o método dos retângulos para calcular a área, começando por subdividir o intervalos [ 0 , π 2 ] em n subintervalos iguais, cada um com um comprimento de 1 n , assim,as extremidades serão:

0 , π 2 n , 2 π 2 n ,   …   , n - 1 π 2 n , π 2

Passo 2

Agora, tendo a área do triangulo, a base de todos eles vai ser 1 n , uma vez que dividimos o intervalo de tamanho π 2 em 1 n . Já a altura vai ser o f ( x ) naquele ponto, logo:

cos ⁡ π 2 n + cos ⁡ 2 π 2 n + …   + cos ⁡ n - 1 π 2 n + cos ⁡ π 2

Como todas as bases dos retângulos são iguais, então a área total é:

A t o t a l = cos ⁡ π 2 n + cos ⁡ 2 π 2 n + …   + cos ⁡ n - 1 π 2 n + cos ⁡ π 2 1 n

Passo 3

Considerando que para calcularmos a área total, temos:

A t o t a l = cos ⁡ π 2 n + cos ⁡ 2 π 2 n 1 n

substituindo esses valores para n = 2 ,   5 ,   10 ,   50 ,   100 , então teremos:

Prontinho!!

Resposta

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Integrais de funções não positivas. Mostre que, se f for integrável, então: f x ≤ 0e ma ,b ⇒∫ a b f x d x ≤ 0
Integrais de funções não negativas. Use a desigualdade max-min para mostrar que, se f é integrável, então: f x ≥ 0e ma ,b ⇒ ∫ a b f x d x ≥ 0 .
Nos Exercícios 55-62, faça o gráfico da função e determine o seu valor médio ao longo do intervalo dado.57. f x = - 3 x 2 - 1 em [ 0 ,1 ]
Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.67. ∫ - 1 2 3 x 2 - 2 x + 1 d x
Demonstre que o valor de ∫ 0 1 x + 8 d x situa-se entre 2 2 ≈ 2,8e3 .