Enunciado

12. (a) Seja c   =   1,3 . Encontre os pontos críticos e os autovalores correspondentes. O que você pode concluir dessa informação, se é que pode concluir alguma coisa?

(b) Desenhe a trajetória que começa na origem. Qual é o comportamento limite dessa trajetória? Para ver claramente o comportamento limite, você deve escolher uma janela com o intervalo de t de modo a eliminar o comportamento transiente inicial.

(c) Escolha um ou dois outros pontos iniciais e desenhe as trajetórias correspondentes. O comportamento limite de cada uma é igual ao do item (b)?

(d) Note que existe um ciclo limite cuja bacia de atração é razoavelmente grande (mas não é todo o espaço x y z ). Faça um gráfico de x , y ou z em função de t e estime o período T 1 de movimento em torno do ciclo limite.

Passo 1

L e t r a   A :

A primeira coisa que devemos aqui é substituir as derivadas por 0 , já que estamos buscando os valores dos pontos críticos:

x ' = - y - z ,       y ' = x + 0,25 y ,       z ' = 0,5 + z x - c     →

0 = - y - z ,       0 = x + 0,25 y ,       0 = 0,5 + z x - c     →

Da segunda equação...

x = - 0,25 y  

E da primeira equação, tiramos que...

z = - y

Jogando esses dois últimos resultados na última equação...

0 = 0,5 + z x - c   →

0 = 0,5 - y - 0,25 y - c     →

Poxa! Uma equação do segundo grau:

0,25 y 2 + c y + 0,5 = 0

Substituindo então o c por 1.3 e resolvendo a equação do segundo grau...

0,25 y 2 + 1.3 y + 0,5 = 0   →

y 1 = - 4.7817         e           y 2 = - 0.4183

BELEZA! Substituindo então nas informações de x e de z ...

x = - 0,25 y           →                 x 1 = 1.1954 x 2 = 0.1046

z = - y       →               z 1 = 4.7817 z 2 = 0.4183

Os dois pontos críticos nesse caso então serão...

1.1954 ,   - 4.7817 ,   4.7817             e                 0.1046 ,   - 0.4183 ,   0.4183

O jacobiano desse primeiro ponto será então...

J = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 z 0 x - 0,5   →

J 1.1954 ,   - 4.7817 ,   4.7817 = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 4.7817 0 1.1954 - 0,5     →

Jogando no Wolfram para obter seus autovalores ganharemos...

λ = 0.1893         e           λ = - 0,0 219 ± 2.4007 i

MAS CALMA, meu Jovem! Temos um segundo ponto crítico e que certamente precisa ser avaliado também!

J 0.1046 ,   - 0.4183 ,   0.4183 = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 0.4183 0 0.1046 - 0,5     →

Calculando os seus autovalores por sua vez obteremos...

λ = - 0.9613         e           λ = 0.0080 ± 1.0652   i

Passo 2

Conclusão:

Bem, obtivemos dois pontos críticos diferentes, onde para um deles...

1.1954 ,   - 4.7817 ,   4.7817

Tivemos autovalores imaginários com a parte real negativa e a outra parte real positiva, é de se esperar que pontos próximos deste ponto referenciado aí em cima sejam assintoticamente estáveis, enquanto para regiões mais próximas do outro ponto seja instável.

Passo 3

L e t r a   B :

Utilizando o mesmo código do exercício anterior, só que substituindo o c por 1.3 na função de definição da derivada e, além disso, colocando o ponto inicial na origem e mandando o programa rodar, obteremos...

Veja que o comportamento limite dessa trajetória então é periódico.

Passo 4

L e t r a   C :

Escolhendo o ponto 1 ,   1 ,   1 ...

Agora escolhendo o ponto inicial - 1 ,   - 1 ,   - 1 ...

Em ambos percebemos que possuem comportamento bem similar, neh? De menos, é claro, nas partes iniciais, ou transitórias.

Passo 5

L e t r a   D :

Com o ponto inicial - 1 ,   - 1 ,   - 1 mesmo, podemos desenhar os gráficos de x , y e z em função de t implementando o código na parte de plotagem de gráficos:

Quando você colocar o programa pra rodar, considerando t de 0 ,   200 , vamos ter o seguinte gráfico com a implementação desse código:

Ele está embolado assim, pois colocamos os três juntos em função do tempo. Em fim, dando um zoom apenas na parte Oscilatória após o transiente em t = 100 ...

Veja que daí podemos estimar um período T de aproximadamente T = 6 , observando dois valores de mínimo para a curva laranja, por exemplo .

Resposta

Letra A:

1.1954 ,   - 4.7817 ,   4.7817         →           λ = 0.1893         e           λ = - 0,0219 ± 2.4007 i  

  0.1046 ,   - 0.4183 ,   0.4183           →           λ = - 0.9613         e           λ = 0.0080 ± 1.0652   i

Letra B:

Letra C:

Letra D:

T = 6

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