Enunciado

20. Existem determinadas reações químicas nas quais as concentrações constituintes oscilam periodicamente com o tempo. O sistema

x ' = 1 - b + 1 x + x 2 y 4 ,                 y ' = b x - x 2 y 4

é um caso particular de um modelo, conhecido como bruxelador, desse tipo de reação. Suponha que b é um parâmetro positivo e considere soluções no primeiro quadrante do plano x y .

(a) Mostre que o único ponto crítico é 1 ,   4 b .

(b) Encontre os autovalores do sistema linear aproximado no ponto crítico.

(c) Classifique o ponto crítico quanto a tipo e estabilidade. Como a classificação depende de b ?

(d) Quando b aumenta e passa por determinado valor crítico b 0 , o ponto crítico muda de assintoticamente estável para instável. Qual é esse valor b 0 ?

(e) Desenhe trajetórias no plano de fase para valores de b ligeiramente menores e ligeiramente maiores do que b 0 . Observe o ciclo limite quando b   >   b 0 ; o bruxelador tem um ponto de bifurcação de Hopf em b 0 .

(f) Desenhe trajetórias para diversos valores de b   >   b 0 e observe como o ciclo limite se deforma quando b aumenta.

Passo 1

L e t r a   A :

0 = 1 - b + 1 x + x 2 y 4 ,                 0 = b x - x 2 y 4   →

0 = 1 - b + 1 x + b x     →

0 = 1 - b x - x + b x     →

x = 1

0 = b x - x 2 y 4   →

0 = b - y 4     →           y = 4 b

Logo, o único ponto crítico de fato será... 1 ,   4 b .

Passo 2

L e t r a   B :

Para encontrar os autovalores do sistema linear nesse ponto crítico devemos encontrar o sistema linear que aproxima o não linear...

x ' = 1 - b + 1 x + x 2 y 4                           →                 F x ,   y = 1 - b + 1 x + x 2 y 4

y ' = b x - x 2 y 4                                   →                 G x ,   y = b x - x 2 y 4

Agora encontremos a jacobiana disso:

J x ,   y = F x F y G x G y     →

J x ,   y = - b + 1 + x y 2 x 2 4 b - x y 2 - x 2 4       →

Substituindo o ponto de interesse 1 ,   4 b ...

J 1 ,   4 b = - b + 1 + 1 4 b 2 1 2 4 b - 1 4 b 2 - 1 2 4     →

J 1 ,   4 b = b - 1 1 4 - b - 1 4

Então o sistema linear próximo de 1 ,   4 b será:

x ' y ' = b - 1 1 4 - b - 1 4 x - 1 y - 4 b

Passo 3

Beleza! Então agora vamos mandar a ver e buscar os autovalores da nossa matriz de coeficientes:

M = b - 1 1 4 - b - 1 4   →

Calculando então os autovalores dessa matriz...

det ⁡ M - r I = 0

det ⁡ b - 1 - r 1 4 - b - 1 4 - r = 0 →

b - 1 - r - 1 4 - r + 1 4 b = 0   →

Simplificando essa equação...

- 1 4 b + 1 4 - 1 4 r - r b + r + r 2 + 1 4 b = 0   →

1 4 + 3 4 r - r b + r 2 = 0   →

r 2 + 5 4 - b r + 1 4 = 0

Multiplicando em ambos os lados por 4 apenas para simplificar...

4 r 2 + 5 - 4 b r + 1 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau...

r = + 5 - 4 b 2 �� 4 ± 5 - 4 b 2 - 4 ⋅ 4 2 ⋅ 4       →

Chamando 5 - 4 b = L apenas para simplificar a análise

r = L 8 ± L 2 - 16 8      

Aqui, a estabilidade então vai depender totalmente de quem é o nosso b (no caso L ):

  • Se L > 4 , então...
  • L 8 > L 2 - 16 8

    De modo que mesmo subtraído, r vai ser maior que 0 e portanto teremos um sistema instável.

  • Se 0 < L < 4
  • L 2 - 16 < 0

    E, portanto, teremos como resposta para r valores imaginários conjugados. Nesse caso, como L é positivo a parte real L / 8 será também e, portanto, o sistema será instável mas em espiral.

  • Se - 4 < L < 0
  • L 2 - 16 < 0

    Nessa condições, continuaremos a ter valores imaginários para r , mas dessa vez teremos um sistema assintoticamente estável e em espiral, por causa da parte real L / 8 ser dessa vez negativo.

  • Se L < - 4
  • L 8 > L 2 - 16 8

    Nessas condições, a raiz volta a ser real, mas ela terá um valor abaixo do módulo L / 8 , isso significa que mesmo somando...

    r = L 8 + L 2 - 16 8      

    r Será negativa, saca? Já que a parte real é um número negativo “maior”: Sistema assintoticamente estável

    Lembre-se de que L = 5 - 4 b , só vão mudar os intervalos, mas a análise é a mesma!

    Passo 4

    L e t r a   D :

    Repare no passo anterior que o valor de L que separa o mundo do estável do instável, acontece no L = 0 , já que L > 0 é instável e L < 0 temos sistemas estáveis.

    Como L = 5 - 4 b ...

    5 - 4 b = 0   →

    b = 5 4

    Então...

    b 0 = 5 4

    Passo 5

    L e t r a   E :

    Usando o mesmo código da questão anterior, só mudando a equação de definição do nosso sistema de EDO para o as nossas equações atuais:

    x ' = 1 - b + 1 x + x 2 y 4 ,                 y ' = b x - x 2 y 4

    Dessa forma aqui:

    E escolhendo alguns pontos iniciais, como o ponto 1 ,   6 ou 1 ,   5.20 , e principalmente b = 1.27   já que b 0 = 1.25 , perceba que sempre as trajetórias embora sejam instáveis, elas tendem ir para um círculo:

    Se escolhermos b = 1.23 agora...

    Veja que o sistema se torna estável e todas as curvas tendem para o mesmo ponto:

    Essa é a mesma figura anterior só que com um zoom pra você ver que de fato, todo mundo estão tendendo ao mesmo ponto provando eu de fato o sistema fica estável!

    Passo 6

    L e t r a   F :

    Se fizermos b agora ir aumentando mantendo as mesmas condições iniciais que determinamos...

  • b = 1.3 :
  • b = 1.4 :
  • b = 2 :

De fato, cada vez mais o círculo que no qual as soluções tendem, vão se deformando ainda mais e rapidamente conforme aumentamos b , sacou?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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