Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

39. a n = { s e n n }

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa sequência aqui

a n = s e n n

E precisamos decidir se ela converge ou diverge. E se convergir, vamos encontrar seu valor. E agora? É através do limite!

Precisamos aplicar o limite sobre essa sequência, para vermos se ela converge ou diverge.

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ s e n n

Se ela converge, o limite acima é um número que chamaremos de L .

Beleza? Vamos resolver juntos?

Passo 2

Temos nosso limite

L = lim n → ∞ ⁡ s e n n

Sabemos que n são números inteiros positivos, além disso, sabemos algo sobre a função seno?

Sim! Ela é uma função que aceita todos os n , mas sua imagem está limitada a valores entre [ - 1,1 ] .

E agora?

Passo 3

Fazendo um gráfico (de sin ⁡ x ) da função (sua versão contínua, mas assim podemos ter uma noção da nossa sequência) temos

Mas como podemos ver, a função seno resulta em valores entre -1 e 1, então, ao aplicarmos o limite, L não irá convergir (mesmo a sequência sendo limitada por -1 e 1), já que ela não é monótona.

Então ela será divergente.

Resposta

D i v e r g e

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Calcule.underset(n - + oo)(lim) (1 + 5^n)/(2 + 3^n)
Supondo que 0a1 , mostre queunderset(n - + oo)(lim) sum_(k = 1)^n a^k = (a)/(1 - a)
Calcule lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2 (Sugestão: Verifique que 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = 1 6 n n + 1 2 n + 1 . Veja Seção 17.)
Calcule.underset(n - + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k
Suponha que a sequência de um termo geral a n , n natural, seja crescente (isto é, quaisquer que sejam os naturais n e m , nm ⟹ a n ≤ a m ) e que exista M real tal que a n ≤ M para todo natural n . Pr