Enunciado

Verifique o Teorema de Green, usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.

P x , y = 2 x - x 3 y 5 ,                     Q x , y = x 3 y 8

C é a elipse 4 x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Como ele nos pede para usar o teorema de Green, vamos dar uma relembrada. Esse Teorema nos diz que se tivermos uma curva plana simples, fechada e continua delimitada pela região D . É valido o seguinte:

∫ p P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Repare que isso só é valido caso existam as derivadas de primeira ordem para Q e P .

Passo 2

A curva que ele nos deu é uma elipse, assim, ela atende as condições do Teorema. Pra começar, vamos parametrizar a elipse. Olha só:

4 x 2 + y 2 = 4

Logo,

x 2 + y 2 2 = 1

Assim, podemos parametrizar como:

x = cos ⁡ t e   y = 2 s e n t   ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Então nossa integral fica:

I = ∫ C P d x + Q d y

Assim,

I = ∫ C 2 x - x 3 y 5 d x + x 3 y 8 d y

Trocando pela nossa parametrização:

I = ∫ 0 2 π 2 c o s t - 2 5 cos 3 ⁡ t sen 5 ⁡ t - s e n t d t + 2 8 cos 3 ⁡ t sen 8 ⁡ t 2 cos ⁡ t d t

Arrumando as coisas:

I = ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ t s e n t ( 16 cos 2 ⁡ t s e n 4 t + 256 cos 3 ⁡ t s e n 7 t - 1 )   d t

Usando um sistema de computação algébrica

I = 7 π

Passo 3

Agora vamos ver se calcularmos usando o lado direito do Teorema, isto é:

I = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Como P = 2 x - x 3 y 5 :

∂ ( 2 x - x 3 y 5 ) ∂ y = 5 x 3 y 4

Além disso, Q = 2 x - x 3 y 5

∂ x 3 y 8 ∂ x = 3 x 2 y 8

Então a integral fica:

I = ∫ - 1 1 ∫ - 4 - 4 x 2 4 - 4 x 2 3 x 2 y 8 + 5 x 3 y 4 d y d x

Usando um computador:

I = 7 π

Então, verificamos o Teorema de Green.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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