Seja f(x, y) de classe(C)^2 e seja (x_0, y_0, z_0) ponto no interior D \* f . Suponha que (x_0, y_0, z_0) ponto crítico de f . Prove: (∂^2 f/∂x^2)(x_0, y_0, z_0) ≤ 0, (∂^2 f/∂y^2)(x_0, y_0, z_0) ≤ 0, (∂^2 f/∂z^2)(x_0, y_0, z_0) ≤ 0 é uma condição necessária para o ponto crítico (x_0, y_0, z_0) ser mínimo local de f . Passo 1Vamos calcular a hessiana, H = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ x ∂ z ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ z ∂ 2 f ∂ x ∂ z ∂ 2 f ∂ y ∂ z ∂ 2 f ∂ z 2 ⟹ H = ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ z 2 + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ 2 f ∂ y ∂ z ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ z + ∂ 2 f ∂ x ∂ z ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ 2 f ∂ y ∂ z - ∂ 2 f ∂ x ∂ z ⋅ ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ z - ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ 2 f ∂ z 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ y - ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ y ∂ z ⋅ ∂ 2 f ∂ y ∂ z E, H 1 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ y 2 - ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ y Como ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 , ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 , ∂ 2 f ∂ z 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 . Temos que H < 0 e H 2 < 0 . Portanto, x 0 , y 0 , z 0 é ponto de mínimo. RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosDetermine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, trace a função com um domínio e um ponto de vistDetermine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 VariáveisVer exercício 4.1 - 8fVer exercício 7.7 - 6b