Sejam alpha e s, s > 0 , reais dados. Verifique que

∫ 0 + ∞ e - s t   t e α t   d t = 1 s - α 2   ( s > α )

Passo 1

Como estamos tratando de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

∫ 0 + ∞ e - s t   t e α t   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t   t e α t   d t

Passo 2

Agora podemos calcular a integral

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t   t e α t   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t + α t t   d t

= lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - ( s - α ) t t   d t

Usando a integração por partes

∫ f ⋅ g '   d t = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d t

Neste caso nossas funções são

f = t g ' = e - ( s - α ) t   →   f ' = 1 g = - e - s - α t s - α

Então

∫ e - ( s - α ) t t   d t = - t e - s - α t s - α + 1 s - α ∫ e - s - α t   d t

∫ e - ( s - α ) t t   d t = - t e - s - α t s - α - e - s - α t s - α 2 + C

No limite

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - ( s - α ) t t   d t = lim A → + ∞ ⁡ - t e - s - α t s - α - e - s - α t s - α 2 0 A

= lim A → + ∞ ⁡ - t ( s - α ) e s - α t - 1 s - α 2 e s - α t 0 A

Passo 3

Substituindo os limites de integração

= lim A → + ∞ ⁡ - A s - α e s - α A - 1 s - α 2 e s - α A + 0 s - α e 0 + 1 s - α 2 e 0

Vamos calcular o limite de cada fração separado

l i m A → + ∞ A s - α e s - α A

Utilizando L’Hospital

= l i m A → + ∞ 1 s - α 2 e s - α A = 0

O segundo limite já foi calculado por tabela, então sobram somente as constantes, logo

∫ 0 + ∞ e - s t   t e α t   d t = 0 s - α e 0 + 1 s - α 2 e 0

= 1 s - α 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados