Enunciado

Seja f contínua em - a , a . Mostrar que:

  1. Se f é par, então ∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x .
  2. Se f é ímpar, então ∫ - a a f x d x = 0 .

Passo 1

Vamos lá! Nosso primeiro passo é relembrar o que é uma função par. Uma função par é aquela que satisfaz a seguinte relação:

f x = f - x

Continuando com a nossa integral, temos:

∫ - a a f x d x = ∫ - a 0 f x d x + ∫ 0 a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x

Nosso trabalho então é provar que:

∫ - a 0 f x d x = ∫ 0 a f x d x

Vamos trabalhar com a primeira integral então. Relembrando a definição de função par, temos:

∫ - a 0 f x d x = ∫ - a 0 f - x d x

Agora, vamos fazer uma substituição de variáveis. Se u = - x , então, d u = - d x . Quando x = 0 , u = 0 . Já quando x = - a , u = a . Portanto, temos:

∫ - a 0 f - x d x = ∫ a 0 f u - d u = - ∫ a 0 f u d u

Invertendo a ordem de integração, temos:

- ∫ a 0 f u d u = ∫ 0 a f u d u

Agora, vamos fazer uma outra mudança de variável. Vamos voltar para a variável x . Para isto, fazemos x = u . Consequentemente, d x = d u . Quando u = a , x = a ; já quando u = 0 , x = 0 . Portanto,

∫ 0 a f u d u = ∫ 0 a f x d x

E assim acabamos de provar que:

∫ - a 0 f x d x = ∫ 0 a f x d x

O que implica provar a relação inicial da questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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