Enunciado

Seja f : I → R contínua, onde I é um intervalo qualquer. Prove que a imagem de f é um intervalo.

Passo 1

Vamos chamar de A , o conjunto imagem de f no intervalo I , ou seja,

A = f x | x ∈ I

Agora vamos para as possibilidades! Temos, então, que A pode ser:

- limitado superiormente, f x < M , ou não;

-limitado inferiormente, f x > m , ou não.

Além disso, podemos ter I : um intervalo aberto, fechado ou semiaberto.

Então vamos combinar tudo!

Passo 2

Assim, podemos ter 9 passibilidades para Im ⁡ f :

Im ⁡ f = m , M

Im ⁡ f = m , M

Im ⁡ f = m , M

Im ⁡ f = m , M

Im ⁡ f = m , + ∞

Im ⁡ f = m , + ∞

Im ⁡ f = - ∞ , M

Im ⁡ f = - ∞ , M

Im ⁡ f = - ∞ , + ∞

Assim, como, obrigatoriamente, um dos casos ocorre, e em todo os casos a imagem é um conjunto, temos que a imagem de f é um intervalo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.f x = x 4 em p = - 1
Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado. f x = x + 1 em p = 2