Seja y = e^(x) \* cos(x) . Verifique que (d^2 y) / (d x^2) - 2 (d y) / (d x) + 2 y = 0 .

Passo 1

Para fazer a verificação vamos encontrar a primeira derivada d y d x e a segunda derivada d 2 y d x 2 e substituir em:

d 2 y d x 2 - 2 d y d x + 2 y = 0

Passo 2

Vamos analisar a função, aqui vamos usar a regra do produto para achar d y d x :

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = e x

e

g x = cos ⁡ x

Assim:

d y d x = d d x e x cos ⁡ x = h ' x g x + g ' x h x = e x ' ⋅ cos ⁡ x + cos ⁡ x ' ⋅ e x

Passo 3

Vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Assim:

d y d x = e x ' ⋅ cos ⁡ x + cos ⁡ x ' ⋅ e x = e x ⋅ x ' ⋅ cos ⁡ x + - sen ⁡ x ⋅ e x = e x ⋅ x 1 - 1 ⋅ cos ⁡ x - e x sen ⁡ x = e x ⋅ x 0 ⋅ cos ⁡ x - e x sen ⁡ x = e x ⋅ 1 ⋅ cos ⁡ x - e x sen ⁡ x = e x cos ⁡ x - e x sen ⁡ x = e x cos ⁡ x - sen ⁡ x

Passo 4

Agora vamos achar d 2 y d x 2 , e vamos usar mais uma regra trigonométrica:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Aplicando ficamos com:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d x e x cos ⁡ x - sen ⁡ x ' = e x ' ⋅ cos ⁡ x - sen ⁡ x + cos ⁡ x - sen ⁡ x ' ⋅ e x = e x ⋅ cos ⁡ x - sen ⁡ x + - sen ⁡ x - cos ⁡ x ⋅ e x = e x ⋅ cos ⁡ x - sen ⁡ x - sen ⁡ x - cos ⁡ x = - 2 e x sen ⁡ x

Passo 5

Vamos agora substituir a derivada:

d 2 y d x 2 - 2 d y d x + 2 y = 0 → - 2 e x sen ⁡ x - 2 e x cos ⁡ x - sen ⁡ x + 2 e x cos ⁡ x = 0 → - 2 e x sen ⁡ x - 2 e x cos ⁡ x + 2 e x sen ⁡ x + 2 e x cos ⁡ x = 0 → 0 = 0

Pronto, verificamos!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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