Nos Exercícios 27-32, determine dp/dq .

31. p = q \* sen(q) / (q^2 - 1)

Passo 1

d p d q = d d q q sen ⁡ q q 2 - 1

Regra do quociente:

d d q u v = v d u d q - u d v d q v 2

Onde u = q sen ⁡ q e v = q 2 - 1 . A função vai ficar:

d p d q = q 2 - 1 d d q q sen ⁡ q - q sen ⁡ q d d q q 2 - 1 q 2 - 1 2

Passo 2

Vamos calcular d d q q sen ⁡ q e d d q q 2 - 1 separadamente para não ficar com uma equação gigante e ter menos chance de se confundir:

Podemos usar a regra do produto, para d d q q sen ⁡ q :

d d q u ⋅ v = v d u d q + u d v d q

Onde u = q e v = sen ⁡ q :

d d q q sen ⁡ q = sen ⁡ q d d q q + q d d q sen ⁡ q

Derivada de sen ⁡ q é cos ⁡ q :

d d q q sen ⁡ q = sen ⁡ q 1 + q cos ⁡ q

d d q q 2 - 1 é mais fácil, só precismos usar a regra da soma:

d d q q 2 - 1 = d d q q 2 + d d q - 1

d d q q 2 - 1 = 2 q + 0 = 2 q

Passo 3

Agora podemos substituir, os valores encontrados no Passo 2, na equação novamente:

d p d q = q 2 - 1 sen ⁡ q + q cos ⁡ q - q sen ⁡ q 2 q q 2 - 1 2

Multiplicando os termos:

d p d q = q 2 sen ⁡ q + q 3 cos ⁡ q - sin ⁡ q - q cos ⁡ q - 2 q 2 sen ⁡ q q 2 - 1 2

d p d q = q 3 cos ⁡ q - sin ⁡ q - q cos ⁡ q - q 2 sen ⁡ q q 2 - 1 2

Resposta

d p d q = q 3 cos ⁡ q - sin ⁡ q - q cos ⁡ q - q 2 sen ⁡ q q 2 - 1 2

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