Enunciado

Prove que a função f x = a r c   t g   x , x ∈ R , é contínua. (Veja Exercício 12.)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Primeiro vamos ver que informações podemos extrair da questão 12.

De acordo com o Exercício 12, se o domínio e a imagem de uma função f são intervalos, e f é estritamente crescente (ou estritamente decrescente), então ela é contínua.

Opa! Então já temos a dica do que temos que verificar para mostrar que f x = a r c   t g   x , x ∈ R , é contínua.

Passo 2

No nosso caso aqui, a função f x = a r c   t g   x tem domínio

R =   ] - ∞ , + ∞ [

Pois ela pode assumir qualquer valor.

Já a imagem é

- π 2 , π 2

No caso, a função só me gera resultados dentro desse intervalo.

Além disso, ela é estritamente crescente.

Logo, f é contínua.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x = x + e x . Mostre que f é inversível e esboce os gráficos de f e de sua inversa.
Prove que, se f for definida, contínua e injetora no intervalo I , então f será estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Calcule.i) a r ct g- 3
Calculea) cos ⁡ a r cs e n1 2
Calculec) cos ⁡ a r cs e n - 3 2