Seja g(x) = cosec(x) . Calcule.

a) g'(x)

b) g' (pi / 4)

Passo 1

a) A derivada de g pode ser calculada pelo limite:

g ' x = lim h → 0 ⁡ g x + h - g x h = lim h → 0 ⁡ cosec ⁡ x + h - cosec ⁡ x h

lim h → 0 ⁡ cosec ⁡ x + h - cosec ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ 1 sen ⁡ x + h - 1 sen ⁡ x h

g ' x = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x ⁡ - sen ⁡ x + h h sen ⁡ x + h sen ⁡ x

Se pelo seno da diferença temos sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a , então:

sen ⁡ x + h = sen ⁡ x cos ⁡ h + sen ⁡ h cos ⁡ x

Assim:

g ' x = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ h - sen ⁡ h cos ⁡ x h sen ⁡ x + h sen ⁡ x = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 - cos ⁡ h - sen ⁡ h cos ⁡ x h sen ⁡ x + h sen ⁡ x

g ' x = lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ h h ⋅ sen ⁡ x sen ⁡ x + h sen ⁡ x - lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h ⋅ cos ⁡ x sen ⁡ x + h sen ⁡ x

Como lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ h h = 0 e lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1 , temos:

g ' x = 0 - 1 ⋅ cos ⁡ x sen ⁡ x + 0 sen ⁡ x = - 1 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x sen ⁡ x = - cosec ⁡ x cotg ⁡ x

Logo:

g ' x = - cosec ⁡ x cotg ⁡ x

Passo 2

b) g ' π 4

Se g ' x = - cosec ⁡ x cotg ⁡ x , então:

g ' π 4 = - cosec ⁡ π 4 cotg ⁡ π 4 = - 1 sen ⁡ π 4 ⋅ cos ⁡ π 4 sen ⁡ π 4 = - 1 2 2 ⋅ 2 2 2 2 = - 2 2

Logo:

g ' π 4 = - 2

Resposta

a)

g ' x = - cosec ⁡ x cotg ⁡ x

b) g ' π 4 = - 2

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