Enunciado

Derive:

10) y = sen theta . cos theta

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

f (x) = sen theta . cos theta

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f^' (x) = (g (x) h (x))^' = g (x) h^' (x) + h (x) g ' ( x )

Podemos dizer que:

g (theta) = sin theta

h (theta) = cos theta

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Antes de substituirmos na regra do produto, vamos calcular as derivadas de g^' ( x ) e f^' ( x ) separadamente:

g (theta) = sin theta

h (theta) = cos theta

Aqui temos duas funções trigonométricas, mas não se preocupe, as duas são tabeladas! Temos que:

g ' (theta) = cos theta

h^' (theta) = - sin theta

Agora substituímos na regra do produto:

f^' (theta) = g (theta) h^' (theta) + h (theta) g ' ( theta )

f^' (theta) = sin theta (- sin theta) + cos theta ( cos theta )

Arrumando:

f^' (theta) = - sin^2 theta + cos^2 theta

Assim já está certo! Mas a gente pode simplificar ainda mais, se liga nessa identidade trigonométrica:

cos 2 x = cos^2 x - sin^2 x

Então:

f^' (theta) = cos 2 x

Prontinho!

Resposta

f^' (theta) = cos 2 x

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