Enunciado

Seja f x , y = x 2 + y 2 e seja γ t = t , t , z t , t ∈ R , uma curva cuja imagem está contida no gráfico de f .

a) Determine z t .

b) Esboce os gráficos de f e γ .

c) Determine a reta tangente a γ no ponto 1,1 , 1 .

d) Seja T a reta tangente do item c ; mostre que T está contida no plano de equação

z - f 1,1 = ∂ f ∂ x 1,1 x - 1 + ∂ f ∂ y 1,1 y - 1

Passo 1

É dada uma função f de duas variáveis e uma curva γ , e precisamos esboçar o gráfico da f , assim como obter outras informações.

Primeiramente, no item a), é dado γ t = t , t , z t , onde devemos identificar qual a função z t que faça com que γ pertença ao gráfico da f .

Mas ué, o γ é nada menos que um x , y , z e o f é nada mais que um z . Ou seja, devemos ter:

x = t y = t z = z t = f

Dai,

z t = x 2 + y 2 = 2 t 2

Passo 2

Para esboçar o gráfico, devemos analisar um pouco o jeitão da f , vendo seus valores para alguns ponto, por exemplo. Ou, melhor, podemos notar simplesmente que a f representa a equação de um paraboloide z = x 2 + y 2 , que a esta altura do campeonato sabemos desenhar muito bem!

Já para determinar o gráfico de γ basta notar que esta curva só existe para x = y   ( = t ) , ou seja, esa curva é nada mais do que a interseção do plano vertical x = y com o paraboloide da f .

Com todo esse raciocínio, o esboço fica o seguinte:

Passo 3

Note que o ponto 1,1 , 2 em γ refere-se a t = 1 .

Agora, para determinar a reta tangente a γ no ponto 1,1 , 2 , recorremos à figura abaixo:

Note que, pela figura, um ponto qualquer x , y , z sobre a reta tangente será dado pela soma do vetor ponto de referência, no caso 1,1 , 2 , com o vetor α γ ' , para algum número α . Escrevendo isto em forma de equação, temos:

x , y , z = 1,1 , 2 + α γ '

Mas, sendo γ t = t , t , 2 t 2 , temos γ ' t = 1,1 , 4 t , ou, para t = 1 , ficamos com:

x , y , z = 1,1 , 2 + α 1,1 , 4

Esta equação vetorial representa três equações:

x = 1 + α y = 1 + α z = 2 + 4 α

Que é a equação da reta tangente no ponto!

Passo 4

Seja T a reta obtida no item anterior. Devemos mostrar que esta reta satisfaz a equação:

z - f 1,1 = ∂ f ∂ x 1,1 x - 1 + ∂ f ∂ y 1,1 y - 1

Mas, nesta expressão,

∂ f ∂ x 1,1 = ∂ x 2 + y 2 ∂ x 1,1 = 2

E também

∂ f ∂ y 1,1 = ∂ x 2 + y 2 ∂ y 1,1 = 2

Assim, como f 1,1 = 1 2 + 1 2 = 2 , a equação que queremos testar fica

z - 2 = 2 x - 1 + 2 y - 1

Agora, será que nossa reta T se encaixa nesta equação? Bem, basta substituir o x , y , z da reta ali para sabermos ao certo:

2 + 4 α - 2 = 2 1 + α - 1 + 2 1 + α - 1

Simplificando, esta equação fornece α = α , o que basta para provar que T realmente está contida no plano dado.

Resposta

a) z t = x 2 + y 2 = 2 t 2

b)

c) x = 1 + α y = 1 + α z = 2 + 4 α

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