Enunciado

Dizemos que ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico do estacionário de z = f ( x , y ) se ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = ∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0 . Determine (caso existam) os pontos críticos da função

f x , y = x 2 + y 2

Passo 1

O enunciado nos dá um bocado de funções de duas variáveis e nos pede para determinar os pontos críticos das mesmas, ou seja, os pontos x 0 , y 0 onde estas funções forneçam ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 .

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos f x , y = x 2 + y 2 . Assim, calculando as derivadas parciais e forçando ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 , obtemos o sistema

∂ ∂ x x 2 + y 2 = 2 x = 0 ∂ ∂ y x 2 + y 2 = 2 y = 0

Logo, o único ponto crítico ocorre em:

x 0 = 0 y 0 = 0

Resposta

x 0 , y 0 = 0,0

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Considere a função dada por w = x y + z 4 , onde z = z x , y . Admita que ∂ z ∂ x x = 1 y = 1 = 4 e que z = 1 para x = 1ey = 1 . Calcule ∂ w ∂ x x = 1 y = 1
Seja f x , y = ∫ 0 x 2 + y 2 e - t 2 d t . Calcule ∂ f ∂ x x , ye∂ f ∂ y x , y
Seja z = f x + a t onde f é uma função doferenciável de uma variável real e a uma constante.Verifique que: ∂ z ∂ t = a
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável de uma variável real e seja f x , y = x 2 + y 2 ϕ x y . Mostre que x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 2 f
Seja f x , y = ∫ x 2 y 2 e - t 2 d t . Calcule ∂ f ∂ x x , ye∂ f ∂ y x , y