Enunciado

Seja f dada por f x = 1             s e   x ∈ Q - 1       s e   x ∉ Q Mostre que f é descontínua em todo p real.

Passo 1

Só pra dar uma lembrada, Q é o conjunto dos números racionais, ou seja, de números que podem ser escritos como frações. Então bem, se pegarmos um número x = p racional, temos:

f p = 1

Belezinha, agora que vimos isso, pra f x ser contínua, qualquer x no intervalo:

p - δ < x <   p + δ

Implica em

f x - f p < ϵ

O que é o mesmo que dizer que f x estará no intervalo:

f p - ϵ < f x <   f p + ϵ

Isso tudo para qualquer valor ϵ > 0 ;   δ > 0 que a gente tome!

Agora vamos aplicar! Para isso, vamos buscar valores arbitrários para p e verificar se nossa afirmação é verdadeira.

Passo 2

Show de bola, agora que vimos isso tudo, vamos pensar num p real qualquer. Por exemplo, p = 2 . Como esse número é real e racional, vamos ter

p - δ < x <   p + δ           ⇒         f x - f p < ϵ

2 - δ < x <   2 + δ           ⇒         f x - 1 < ϵ

Lembrando que f p = 1 .

Mas será que isso é verdade? Veja bem, imagine que δ = 1 , por exemplo. Aí o intervalo fica:

2 - 1 < x <   2 + 1

1 < x <   4

E vamos testar um número não racional agora, por exemplo x = π , que está dentro desse intervalo. Nesse caso, vamos ter:

f π = - 1

E logo:

f π - 1 < ϵ

- 1 - 1 < ϵ

- 2 < ϵ

ϵ > 2

Em outras palavras, f π vai estar dentro do intervalo:

1 - ϵ < f π <   1 + ϵ

Somente se ϵ > 2 , que significa que:

2 - δ < x <   2 + δ           ⇒         f x - 1 < ϵ

Não é uma verdade pra qualquer ϵ > 0 ;   δ > 0 ! Logo a função não é contínua!

Resposta

Seja p um número real, no intervalo p - δ , p + δ existirão infinitos irracionais, de forma que nesses pontos teremos f x = - 1 . Portanto, um x ∈ p - δ , p + δ não implica em um f x - 1 < ϵ para qualquer ϵ > 0 ;   δ > 0

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Discuta se os limites de p x = 1 - x n quando x → + ∞ e x → - ∞ para valores inteiros positivos de n .
52. Encontre: lim x → + ∞ ⁡ c 0 + c 1 x + … + c n x n d 0 + d 1 x + … + d m x m Onde c n ≠ 0 e d m ≠ 0 . Sugestão: a respostas dependerá dos casos mn ,m = nemn .
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