Enunciado

Seja y = 4 x , onde x = x t é uma função derivável num intervalo aberto I . Suponha que, para todo t em I , x t ≠ 0 e d x d t = β , β constante. Verifique que

d 2 y d t 2 = 8 β 2 x 3

Passo 1

Vamos derivar y em relação a t , usando a regra da cadeia:

d y d t = 4   x - 1 '

Derivando e usando a regra da cadeia, temos

d y d t = 4   - 1 x - 2 d x d t

Como o enunciado forneceu que d x d t = β , temos que

d y d t = 4   - 1 x - 2 β

Ajeitando,

d y d t = - 4 β x - 2

Agora vamos para segunda derivada!

Passo 2

Derivamos novamente em relação a t para obter a derivada segunda de y :

d 2 y d t 2 = - 4 β   x - 2 '

Lembrando de que β é constante. Agora vamos aplicar a regra da cadeia:

d 2 y d t 2 = - 4 β   - 2 x - 3 d x d t

d 2 y d t 2 = - 4 β   - 2 x - 3 β

Ajeitando,

d 2 y d t 2 = 8 β 2 x 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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