Verifique que.

d/dx[-raiz(2/3) * arctg(raiz((2*(3-x))/(3*(x-2))))] = 1/(x * raiz(5x - 6 - x^2))

Passo 1

Vamos calcular d d x - 2 3 arctg ⁡ 2 3 - x 3 x - 2 , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função constante, da divisão e do polinômio:

ar ctg ⁡ f x ' = 1 1 + f 2 x ⋅ f x '

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

x n ' = n x n - 1

Passo 2

Vamos então aplicar:

y ' = - 2 3 arctg ⁡ 2 3 - x 3 x - 2 ' = - 2 3 ⋅ 1 1 + 2 3 - x 3 x - 2 2 ⋅ 2 3 - x 3 x - 2 '

Vamos resolver a derivada 2 3 - x 3 x - 2 ' :

2 3 - x 3 x - 2 ' = 2 3 - x 3 x - 2 1 2 ' = 1 2 2 3 - x 3 x - 2 1 2 - 1 2 3 - x 3 x - 2 ' = 1 3 2 3 - x 3 x - 2 - 1 2 3 - x x - 2 '

Aqui vamos resolver 3 - x x - 2 ' :

3 - x x - 2 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 3 - x ' x - 2 - 3 - x x - 2 ' x - 2 2 = 0 - x 1 - 1 x - 2 - 3 - x x 1 - 1 - 0 x - 2 2 = - x 0 x - 2 - 3 - x x 0 x - 2 2 = - 1 x - 2 - 3 - x 1 x - 2 2 = - x + 2 - 3 + x x - 2 2 = - 1 x - 2 2

Substituindo:

2 3 - x 3 x - 2 ' = 1 3 2 3 - x 3 x - 2 - 1 2 3 - x x - 2 ' = 1 3 2 3 - x 3 x - 2 - 1 x - 2 2 = - 1 3 x - 2 2 2 3 - x 3 x - 2 = - 1 3 x - 2 2 2 3 - x 3 x - 2 = - 1 3 x - 2 2 2 3 - x 3 x - 2   = - 1 3 2 3 - x x - 2 2 3 1 2 x - 2 1 2 = - 1 3 1 - 1 2 2 3 - x x - 2 2 - 1 2 = - 1 3 1 2 2 3 - x x - 2 3 2 = - 1 3 2 3 - x x - 2 3 2 = - 1 6 3 - x x - 2 3 2

Passo 3

Agora fazendo a última substituição:

y ' = - 2 3 ⋅ 1 1 + 2 3 - x 3 x - 2 2 ⋅ 2 3 - x 3 x - 2 ' = - 2 3 ⋅ 1 1 + 2 3 - x 3 x - 2 2 ⋅ - 1 6 3 - x x - 2 3 2 = - 2 3 ⋅ 1 1 + 2 3 - x 3 x - 2 ⋅ - 1 6 3 - x x - 2 3 2 = - 2 3 ⋅ 1 3 x - 2 + 2 3 - x 3 x - 2 ⋅ - 1 6 3 - x x - 2 3 2 = - 2 3 ⋅ 1 x 3 x - 2 ⋅ - 1 6 3 - x x - 2 3 2 = 2 3 ⋅ 3 x - 2 1 - 3 2   x ⋅ 1 2 3 3 - x = 1 3 ⋅ 3 x - 2 - 1 2   x ⋅ 1 3 1 2 3 - x = 3 1 - 1 2 x - 2 - 1 2   3 x 3 - x = 3 1 2   3 x x - 2 3 - x = 1   x x - 2 3 - x = 1   x 3 x - x 2 - 6 + 2 x = 1   x 5 x - x 2 - 6

Assim:

d d x - 2 3 arctg ⁡ 2 3 - x 3 x - 2 = 1 x 5 x - 6 - x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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