Enunciado

Seja f definida e derivável no intervalo aberto I , com 1 ∈ I , tal que

f ' x = x 2 + f 2 x           p a r a   t o d o   x   e m   I f 1 = 1

a) Mostre que, para todo x em I , f ' ' x existe e que f ' ' é contínua em I

b) Mostre que existe r > 0 tal que f ' x > 0 e f ' ' x > 0 em 1 - r ,     1 + r

c) Esboce o gráfico de y = f x ,   x ∈ 1 - r ,     1 + r

Passo 1

a) Como f é derivável em I , temos f ' contínua nesse intervalo. Assim, vamos tentar derivar f ' usando a regra da cadeia:

f ' x = x 2 + f 2 x

f ' ' x = 2 x + 2   f x   f ' x

Desse modo, para todo x em I , f ' ' x existe. Além disso, f ' ' é contínua porque resulta de soma e multiplicação de funções contínuas ( f e f ' são contínuas).

Passo 2

b) Como f é contínua e f 1 = 1 , o teorema da conservação do sinal nos diz que existe r > 0 , com r < 1 2 , tal que 1 - r e 1 + r pertencem a I e f x > 0 para 1 - r < x < 1 + r .

Como f ' x = x 2 + f x 2 , sendo a soma de dois quadrados com f x > 0 no intervalo 1 - r ,     1 + r como acabamos de ver, concluímos que f ' x > 0 .

Além disso, também teremos f ' ' x = 2 x + 2   f x   f ' x > 0 no mesmo intervalo, pois x ,   f x ,   f ' x > 0 .

Passo 3

c) Já vimos que, quando x ∈ 1 - r ,     1 + r , temos f x ,   f ' x ,   f ' ' x > 0 , além de f 1 = 1 . Então, o esboço que temos que fazer deve ser um gráfico crescente e com concavidade para cima, tipo assim:

Beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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