Enunciado

Seja f defninda em R 2 , diferenciável em ( 0,0 ) e tal que f t x , t y = t f ( x , y ) para todo t ∈ R e todo x , y ∈ R 2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e     b tais que f x , y = a x + b y .

Passo 1

Perceba que para cada x , y fixo, d d t f t x , t y ​ t = 0 =     f x , y .

Ou seja, pela questão 27

x ∂ f ∂ x 0,0 + y   ∂ f ∂ y 0,0 = f x , y

Basta tomar a = ∂ f ∂ x 0,0     e b =   ∂ f ∂ y 0,0   .

Daí,

f x , y =   a x + b y  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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