Enunciado

7- Seja f: R R derivável até segunda ordem e tal que f´´(x) – f(x) = 0

a)Prove que g (x) = e x ( f ´ x -   f x ) , x ϵ   R, é constante.

b) Prove que existe uma constante A tal que para todo x,   f x -   A   e - x   e x ´ = 0

c) Conclua de b que existe uma outra constante B tal que f(x) = A e - x +   B   e x , para todo x.

Passo 1

a)Galera, primeiro vamos derivar a função g(x) :

g´(x) = e x   f ´ x -   f x +   e x   f ´ ´ x -   f ´ x

Agora vamos arrumar essa coisa:

g´(x) = e x   f ´ ´ x -   f x + e x   f ´ ( x ) -   f ´ x

Gente, vamos utilizar a condição inicial que vai dar bom :

g´(x) = e x ( 0 ) + e x ( 0 )

Caraaaaaa, corre pro abraço e vai ser feliz porque a derivada deu zerooooo!!!

Isso quer dizer que para qualquer x a função é constante.

Passo 2

b) A primeira coisa a se fazer aqui é derivar a função:

f ´ x +   A   e - x e x -   e x ( f x -   A   e - x ) e x

Vamos arrumar pra ficar mais bonitinho ;)

f ´ x - f x e x +   2 A e x

Agora nós podemos usar o resultado da letra a e admitir – 2 A como a função g, que nós já provamos ser uma função constante. Então vamos lá!

Só pra lembrar: g (x) = f ´ x - f x e x

Acho que vocês já perceberam o que nós vamos fazer né ?!

- 2 A +   2 A e x = 0

Pronto, acabamos de provar que existe uma constante A que atenda a condição imposta pelo problema.

Passo 3

c)Fazendo B =   f x -   A   e - x   e x  

Temos que :

B   e x =   f(x) - A   e - x

Isso quer dizer que :

f(x) = A   e - x + B   e x

Essa nem doeu né ?! ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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