Enunciado

6- Seja f: R R derivável até segunda ordem e tal que para todo x ,   f ´ ´ x + f x = 0 . Prove que existe uma constante A tal que

  f x -   A   c o s x s e n   x ' =   0

Para todo x   em ( 0 ,   π ) . Conclua que existe uma outra constante B tal que, para todo x   em ( 0 ,   π ) ,   f x = A   c o s   x + B   s e n   x .

Passo 1

E aí, galera! 😊 tudo em cima?

Nesse problema temos que dada uma função f x em que f ' ' x + f x = 0 podemos provar que

  f x -   A   c o s x s e n   x ' =   0

Parece dificil? 😬

Passo 2

Galera, pela questão 5 nóxxx provamos que f ´ ( x )   s e n   x   –   f ( x )   c o s   x é constante.

Então vamos aproveitar essa deixa e tomar o A como: ( f ´ ( x )   s e n   x   –   f ( x )   c o s   x )

Assim,

  f x -   A   c o s x s e n   x ' = f ´ x +   A   s e n   x s e n   x   – f x –   A cos ⁡ x cos ⁡ x s e n 2   x

Observe que nós usamos a regra do quociente para derivar. Lembra dela? Ela tem o formato:

f g ' = f ' ∙ g - g ' ∙ f g 2

Onde f e g são funções de x . Voltando à nossa expressão de cima, nós podemos agora escrever os produtos dessas funções aplicando a distributiva e dando uma arrumada:

f ´ x   s e n   x - f x cos ⁡ x +   A   s e n 2 x + A cos 2 ⁡ x s e n 2   x

Agora, vamos substituir ( f ´ ( x )   s e n   x   –   f ( x )   c o s   x ) por – A e usar a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 :

– A + A   cos 2 ⁡ x + s e n 2 x s e n 2 x = - A + A s e n 2 x = 0

Então, de fato nós verificamos que   f x -   A   c o s x s e n   x ' =   0 . Dessa forma, existe uma constante A que atende a condição imposta pelo problema.

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Usando agora a nossa proposição   f x -   A   c o s x s e n   x ' =   0 e integrando dos dois lados, nós temos:

f x -   A cos ⁡ x s e n   x = B

Onde B é uma constante. Passando o s e n   x para o outro lado multiplicando, temos:

f x - A   c o s   x   =   B   s e n   x

Isolando f ( x ) , ficamos com:

f ( x )   =   A   c o s   x   +   B   s e n   x

Como queríamos demonstrar.

Até a próxima, pessoal! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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