Suponha f'' contínua em [a, b] . Verifique que

f b = f a + f ´ a b - a + ∫ a b b - t f ´ ´ t d t

Passo 1

Olá, pessoal! Vamos olhar bem para segunda parte da igualdade e tentar lembrar de algo familiar,

f a + f ´ a b - a + ∫ a b b - t f ´ ´ t d t

Isso me lembra um pouco a solução da integração por partes. Para quem não lembra, ela tem essa cara,

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Note que temos uma parte função " u v " e uma parte integral " ∫ v d u " , como no enunciado.

Então, primeiramente, vamos isolar a integral do enunciado:

∫ a b b - t f ´ ´ t d t = f b - f a - f ´ a b - a

Vamos resolver a integral usando isso para conferir!

Passo 2

Vamos usar para a integral

u = b - t → d u = - d t

v = f ´ t → d v = f ´ ´ t d t

Jogando na solução, temos,

∫ a b b - t f ´ ´ t d t = f ´ t b - t b a - ∫ a b f ´ t - 1 d t

∫ a b b - t f ´ ´ t d t = f ´ t b - t b a + ∫ a b f ´ t d t

Esse termo f ´ t b - t b a vai ser resolvido assim:

f ´ t b - t b a = f ´ b b - b - f ´ a b - a = - f ´ a b - a

E a integral de dentro vai ficar:

∫ a b f ´ t d t = f t b a = f b - f a

Substituindo:

∫ a b b - t f ´ ´ t d t = - f ´ a b - a + f b - f a

Passo 3

Agora só precisamos de isolar o f b :

∫ a b b - t f ´ ´ t d t = - f ´ a b - a + f b - f a

f b = f ´ a b - a + f a + ∫ a b b - t f ´ ´ t d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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