Enunciado

Seja h ( ξ ) o deslocamento inicial em [ 0 ,   L ] estendido a ( - L ,   0 ) como uma função ímpar e estendido ao resto da reta como uma função periódica de período 2 L . Supondo a continuidade de h e suas derivadas até segunda ordem, mostre por diferenciação direta que u ( x ,   t ) dada pela E q .   ( 28 ) satisfaz a equação de onda (1) e as condições iniciais (9).

Note, também, que, como a E q .   ( 20 ) satisfaz claramente as condições de contorno (3), o mesmo é verdade para a Eq. (28). Comparando a Eq. (28) com a solução do problema correspondente para a corda infinita (Problema 16), vemos que eles têm a mesma forma, desde que os dados iniciais para a corda finita, definidos, originalmente, apenas no intervalo [ 0 ,   L ] , sejam estendidos da maneira indicada para todo o eixo dos x. Se isso for feito, a solução para a corda infinita também é aplicável para a corda finita.

Passo 1

A função h ( ξ ) segue um comportamento periódico igual a:

f ξ ,     0 ≤ ξ ≤ L

- f - ξ ,       - L < ξ < 0

Onde h x + 2 L = h ( x )

E como visto na questão passada:

u x , t = 1 2 h x - a t + h x + a t

Diferenciando em x nós temos:

u x = 1 2 h ' x - a t + h ' x + a t

u x x = 1 2 h ' ' x - a t + h ' ' x + a t  

E diferenciando em t nós temos:

u t = a 2 - h ' x - a t + h ' x + a t

u t t = a 2 2 h ' ' x - a t + h ' ' x + a t

Então conseguimos ver pela diferenciação direta que a equação de onda ( 1 ) é satisfeita:

a 2 u x x = u t t

Passo 2

Agora vamos testar as condições de contorno que são:

u x , 0 = f ( x )

u t x , 0 = 0 ,     0 ≤ x ≤ L

Então aplicando a primeira condição:

u x , 0 = 1 2 h x + h x = h x = f ( x )

u t x , 0 = a 2 - h ' ( x ) + h ' ( x ) = 0

O que se verifica, agora para as condições em ( 3 ) nós temos:

u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0

Porém como h x + 2 L = h ( x ) , então só precisamos aplicar x = 0 , pois vale para x = L .

u 0 , t = 1 2 h - a t + h + a t

Como h é uma função seno então ela é uma função ímpar, logo:

u 0 , t = 1 2 - h a t + h + a t = 0

Então todas as condições de contorno então realmente u x , t = 1 2 h x - a t + h x + a t   é uma solução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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