1. Mostre que a equação de onda a^2 \* u_xx = u_tt pode ser reduzida à forma uxh = 0 pela mudança de variáveis zeta = x - at, eta = x + at
  2. Mostre que u(x, t) pode ser escrita como

u(x, t) = ϕ(x - a \* t) + ψ(x + a \* t) , em que phi e psi são funções arbitrárias.

Passo 1

O enunciado fornece pra gente:

a 2 u x x = u t t

Mas como

ζ = x - a t

E também:

  η = x + a t

Então, fazendo uma rápida substituição entre essas duas expressões, chegamos em:

x = ζ + η 2

  t = η - ζ 2 a

Dessa forma, podemos escrever uma função u ( x ,   t ) da seguinte maneira:

u x , t = u ζ + η 2 , η - ζ 2 a

Logo,

∂ u ∂ ζ = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ ζ + ∂ u ∂ t ∂ t ∂ ζ

Com isso:

∂ u ∂ ζ = u x 1 2 - u t 1 2 a

E, manipulando matematicamente e utilizando a primeira equação que temos, chegamos em:

u ζ η = 0

Passo 2

Agora, u ( x , t ) pode ser representado como:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ k n s i n n π x L s i n n π a t L

u x , t = ϕ x - a t + ψ x + a t

Resposta

  1. u ζ η = 0
  2. u x , t = ϕ x - a t + ψ x + a t
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados