Enunciado

95. Seja

f (x , y) = {[[(x^3 y - x y^3)/(x^2 + y^2),s,e,,(x , y),!=,(0,0)],[0,s,e,,(x , y),=,(0,0)]])

(b) Determine f_x (x , y) e f_y (x , y) quando (x , y) != (0,0) .

Passo 1

A função que ele nos deu foi:

f (x , y) = {[[(x^3 y - x y^3)/(x^2 + y^2),s,e,,(x , y),!=,(0,0)],[0,s,e,,(x , y),=,(0,0)]])

Quando (x , y) != (0,0) , nossa função é:

f (x , y) = (x^3 y - x y^3)/(x^2 + y^2)

Agora vamos derivar em relação a x , para isso vamos usar a regra do quociente. Vem comigo!

f_x (x , y) = (del f)/(del x) = (del)/(del x) ((x^3 y - x y^3)/(x^2 + y^2))

Logo,

f_x (x , y) = ((3 x^2 y - y^3) (x^2 + y^2) - (x^3 y - x y^3) (2 x))/((x^2 + y^2)^2)

Portanto,

f_x(x , y)=(y (x^4 + 4 x^2 y^2 - y^4))/((x^2 + y^2)^2)

Passo 2

Agora vamos derivar uma derivar em relação a y .

f_y (x , y) = (del f)/(del y) = (del)/(del y) ((x^3 y - x y^3)/(x^2 + y^2))

Usando a regra do quociente:

f_y (x , y) = ((x^3 - 3 x y^2) (x^2 + y^2) - (x^3 y - x y^3) (2 y))/((x^2 + y^2)^2)

Logo,

f_y(x , y)=(x^5 - 4 x^3 y^2 - x y^4)/((x^2 + y^2)^2)

Resposta

f_x (x , y) = (y (x^4 + 4 x^2 y^2 - y^4))/((x^2 + y^2)^2)

f_y (x , y) = (x^5 - 4 x^3 y^2 - x y^4)/((x^2 + y^2)^2)

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