Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 33
Utilize coordenadas esféricas.
a) Determine o centroide do hemisfério sólido homogêneo de raio .
b) Determine o momento de inércia do sólido da parte (a) em relação a um diâmetro de sua base.
Passo 1
A questão pede para encontramos o centro de massa e o momento de inércia de um hemisfério de raio com distribuição uniforme de massa. Desta forma, podemos calcular sua densidade (que é constante) fazendo
Além disso, vamos posicionar o hemisfério com eixo de simetria no eixo : , com . Assim, o domínio de integração será, em coordenadas esféricas:
Devido a simetria do problema, vemos que . Só precisamos achar :
Ou ainda,
Usei que .
Para o momento de inércia, temos que
onde é a distância até o eixo com relação ao qual calculamos o momento de inércia. Como neste caso vamos calcular o momento de inércia com relação a um diâmetro da base, podemos toma-lo como sendo o eixo . A distância de um ponto genérico ao eixo :
Em coordenadas esféricas, teremos
Assim,
Portanto,
Passo 2
Agora só nos resta resolver as integrais. No item (a), vamos calcular a integral em :
Já em :
Assim,
Passo 3
Neste passo vamos resolver a integral do item (b). Fazendo a integral em :
Lembrando que
temos que
Assim,
Então,
Vamos fazer a mudança , de modo que . Assim,
Usando que , temos que
Resposta
a)
b)
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais