Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 44
Seja
(a) Mostre que quando por qualquer caminho da forma passando por com .
(b) Apesar da parte (a), mostre que é descontínua em .
(c) Mostre que é descontínua em duas curvas inteiras.
Passo 1
(a) Galera, pra mostrar que que por qualquer caminho da forma , temos que verificar que esse caminho satisfaz a ou , quando está perto da origem.
E isso realmente se verifica pois é uma função polinomial de grau menor do que , então, próximo a origem, geralmente ela cresce mais rápido, satisfazendo . Se não, ela acaba satisfazendo , o que também nos leva a .
Passo 2
(b) Se, por exemplo, nos aproximarmos da origem pelo caminho , teremos , pois .
Como os limites nas partes (a) e (b) são diferentes, concluímos que é descontínua em .
Passo 3
(c) Pessoal, se considerarmos as curvas e , elas meio que delimilitam as regiões onde e . Então, o valor muda abruptamente nessas curvas, o que faz ser descontínua nelas.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)