Enunciado

Seja

f x = 0 ,     s e       y ≤ 0       o u       y ≥ x 4 1 ,     s e       0 < y < x 4

(a) Mostre que f x ,   y → 0 quando x ,   y → 0 ,   0 por qualquer caminho da forma y = m x a passando por 0 ,   0 com a < 4 .

(b) Apesar da parte (a), mostre que f é descontínua em 0 ,   0 .

(c) Mostre que f é descontínua em duas curvas inteiras.

Passo 1

(a) Galera, pra mostrar que que f x ,   y → 0 por qualquer caminho da forma y = m x a , temos que verificar que esse caminho satisfaz a y ≤ 0 ou y ≥ x 4 , quando está perto da origem.

E isso realmente se verifica pois y = m x a é uma função polinomial de grau menor do que x 4 a < 4 , então, próximo a origem, geralmente ela cresce mais rápido, satisfazendo y ≥ x 4 . Se não, ela acaba satisfazendo y ≤ 0 , o que também nos leva a f x ,   y → 0 .

Passo 2

(b) Se, por exemplo, nos aproximarmos da origem pelo caminho y = x 6 , teremos f x ,   y → 1 , pois 0 < x 6 < x 4 .

Como os limites nas partes (a) e (b) são diferentes, concluímos que f é descontínua em 0 ,   0 .

Passo 3

(c) Pessoal, se considerarmos as curvas y = 0 e y = x 4 , elas meio que delimilitam as regiões onde f x ,   y = 0 e f x ,   y = 1 . Então, o valor muda abruptamente nessas curvas, o que faz f ser descontínua nelas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Determine h x , y = g f x , y e o conjunto na qual h é contínua. g t = t 2 + t , f x , y = 2 x + 3 y - 6