Enunciado

Seja f x = s e n   x . Encontre todos os inteiros positivos n com os quais f n x = s e n   x .

Passo 1

A ideia aqui é que a gente precisa calcular sucessivamente a derivada dessa função, e tentar identificar um padrão. Com esse padrão, a gente consegue dizer para que valores de n , a derivada resulta no seno.

Passo 2

Vamos começar pela derivada de seno:

f ' x = cos ⁡ x

Agora vamos derivar a função de novo algumas vezes para ver no que dá:

f ' ' x = - s e n   x

f ' ' ' x = - s e n   x ' = - cos ⁡ x

f ( 4 ) x = - ( cos ⁡ x ) ' = - ( - s e n   x ) = s e n   x

Ih olha só, a gente acabou voltando para o seno. Se a gente continuar derivando, vamos passar por todas essas funções e chegar no seno de novo. Temos um padrão. Vamos a analisar melhor esse padrão.

Passo 3

Se a gente organizar nossas derivadas pelo número de vezes que a função seno foi derivada, assim: f x = s e n   x ,     n = 0

f ( n ) x = f ' x = cos ⁡ x ,     n = 1

f ( n ) x = f ' ' x = - s e n   x ,     n = 2

f ( n ) x = f ' ' ' x = - cos ⁡ x ,     n = 3

f ( n ) x = f ( 4 ) x = s e n   x ,     n = 4

Vemos que encontramos a função seno de quatro em quatro vezes que derivamos a própria função seno. Agora vamos voltar para o nosso enunciado. Queremos saber para que valor de n , temos:

f n x = s e n   x

Se o seno se repete de quatro em quatro vezes, e começa em n = 0 , podemos dizer que:

n = 0 ,   4 ,   8 ,   12 ,   …

Ou seja, n = 4 k , para qualquer valor de k como número natural.

Ufa! Conseguimos!

Resposta

n = 0 ,   4 ,   8 ,   12 ,   …

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Encontre d y d x : y = a r c se n ⁡ x + a r cc o s ⁡ ( x )
Encontre d y d x usando qualquer método: y = 4 3s e n x - e x