Verdadeiro ou falso? Quando x -> infinito .

  1. 1 / (x + 3) = O(1 / x)
  2. 1 / x + 1 / x^2 = O(1 / x)
  3. 1/x - 1/x^2 = o(1/x)
  4. 2 + cos x = O(2)
  5. e^x + x = O(e^x)
  6. x ln(x) = o(x^2)
  7. ln(ln(x)) = O(ln(x))
  8. ln(x) = o(ln(x^2 + 1))

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x → ∞ ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

f ( x ) g ( x ) ≤ M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O g .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. 1 x + 3   1 x =   x x + 3 < 1

    Se x > 1 ou suficientemente grande. Portanto o item é verdadeiro.

    Passo 2

  2. 1 x + 1 x 2 1 x = 1 + 1 x < 2

    Se x > 1 ou suficientemente grande. Portanto o item é verdadeiro.

    Passo 3

l i m x → ∞ 1 x - 1 x 2 1 x =   l i m x → ∞     1 - 1 x = 1

Logo, f ( x ) não é o ( g ( x ) . Item falso.

Passo 2

d)

Temos que 2 + cos ⁡ x   < 3 →   2 + cos ⁡ x   2 < 3 2 para um x suficientemente grande

Logo, concluímos que o tem é verdadeiro

Passo 3

  1. Temos : e x + x e x = 1 + x e x . Desde que x e x       tende a zero quando x → ∞ então podemos afirmar que:
  2. 1 + x e x < 2 para um x suficientemente grande

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 6

  3. Vamos verificar o limite:
  4. l i m x → ∞     x ln ⁡ x   x 2 =   l i m x → ∞   ln ⁡ x   x =   l i m x → ∞   1 x 1 = 0

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 7

  5. Façamos:
  6. ln ⁡ ( ln ⁡ x )   ln ⁡ x <   ln ⁡ x ln ⁡ x = 1 para um x suficientemente grande

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 8

  7. Vamos verificar:

l i m x → ∞ ln ⁡ x   ln ⁡ ( x 2 + 1 ) =   l i m x → ∞ 1 x 2 x x 2 + 1 =   l i m x → ∞   1 2 +   1 2 x 2 = 1 2

Logo o item é falso

Resposta

São Verdadeiros: a,b,d,e,f,g,

São Falsos: c,h

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados