Enunciado

2. Seja f x uma função contínua.

a) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral

∫ f s e n x ⋅ cos ⁡ x d x em ∫ f u d u

Passo 1

Pra resolver essa questão, a gente vai ter que fazer uma substituição simples. Pra isso, a gente chama uma função de uma variável, e isso vai facilitar a nossa vida.

No caso dessa questão, o próprio enunciado já te dá a substituição que a gente vai fazer:

u = s e n ( x )

Então para gente fazer a substituição vamos ter que derivar u !

Derivando u = s e n ( x ) :

d u = cos ⁡ x d x

Passo 2

Pronto, agora a gente só precisa fazer então a nossa substituição simples, pra enfim integrar...

Nossa integral era:

I = ∫ f s e n x ⋅ cos ⁡ x d x

E,

u = s e n ( x )

d u = cos ⁡ x d x

Indo para variável u :

I = ∫ f u   d u

Que nem queríamos demonstrar!

É só isso mesmo!

Resposta

∫ f s e n x ⋅ cos ⁡ x d x   vira   ∫ f u   d u quando fizemos a substituição   u = s e n ( x )

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