Calcule.

∫ x 2 x - 1 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos fazer:

u = x - 1 → x = u + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição:

∫ x 2 x - 1 d x = ∫ u + 1 2 u d u

Agora vamos expandir o termo u - 1 2 e fazer algumas manipulações para ficar mais simples de resolver:

∫ u + 1 2 u d u = ∫ u 2 + 2 u + 1 u 1 2 d u = ∫ u 2 + 1 2 + 2 u 1 + 1 2 + u 1 2 d u = ∫ u 5 2 + 2 u 3 2 + u 1 2 d u

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u 5 2 + 2 u 3 2 + u 1 2 d u = ∫ u 5 2 d u + ∫ 2 u 3 2 d u + ∫ u 1 2 d u

Resolvendo cada uma separadamente:

∫ u 5 2 d u = u 5 2 + 1 5 2 + 1 = u 7 2 7 2 = 2 u 7 2 7

∫ 2 u 3 2 d u = 2 ∫ u 3 2 d u = 2 u 3 2 + 1 3 2 + 1 = 2 u 5 2 5 2 = 4 u 5 2 5

∫ u 1 2 d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 = u 3 2 3 2 = 2 u 3 2 3

Vamos agora juntar:

∫ u 5 2 d u + ∫ 2 u 3 2 d u + ∫ u 1 2 d u = 2 u 7 2 7 + 4 u 5 2 5 + 2 u 3 2 3 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

∫ x 2 x - 1 d x = 2 u 7 2 7 + 4 u 5 2 5 + 2 u 3 2 3 + C = 2 u + 1 7 2 7 + 4 u + 1 5 2 5 + 2 u + 1 3 2 3 + C

Resposta

∫ x 2 x - 1 d x = 2 u + 1 7 2 7 + 4 u + 1 5 2 5 + 2 u + 1 3 2 3 + C

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