Calcule a integral definida.

∫ 0 1 x 3   1 + x 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 0 1 x 3   1 + x 2   d x

Antes de qualquer coisa, você precisa reescrever a integral:

I = ∫ 0 1 x 2 1 + x 2   x   d x

Note que se você chamar t = 1 + x 2 , segue que d t = 2 x   d x ⇒ x   d x = d t / 2 . Além disso, x 2 = t - 1 :

I = 1 2 ∫ 1 2 t - 1 t   d t

Não esqueça de alterar os limites de integração para a nova variável!

Passo 2

Agora a integração é simples:

I = 1 2 ∫ 1 2 t 3 2 - t 1 2 d t

Portanto,

I = 1 2 2 5 t 5 2 - 2 3 t 3 2 1 2 = 1 5 t 2 t - 1 3 t t 1 2

Passo 3

Desta forma, substituindo os extremos:

I = 1 5 ⋅ 4 2 - 1 3 ⋅ 2 2 - 1 5 + 1 3

Portanto,

I = 2 4 5 - 2 3 + 1 3 - 1 5 = 2 12 - 10 15 + 5 - 3 15

Logo,

I = 2 2 15 + 2 15 = 2 15 1 + 2

Resposta

2 15 1 + 2

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