Enunciado

56. Seja f uma função cuja derivada f ' é contínua em a , b . Ache o valor médio da inclinação da reta tangente ao gráfico de f em a , b e dê uma interpretação geométrica do resultado.

Passo 1

Temos f e sua derivada, precisamos aplicar o teorema do valor médio para f ' , que é a definição de inclinação da reta tangente a f , certinho?

Passo 2

Como a questão diz que f ' é contínua em a , b , então f ' é integrável nesse intervalo. Podemos usar o teorema do valor médio:

∫ a b f ( x ) = f ( x ) ( b - a )

Ao isolarmos o f ( x ) fica assim

f x = 1 ( b - a ) ∫ a b f ( x )

Assim vamos calcular o valor médio (VM) de f ( x )

Passo 3

Substituindo na fórmula...

f ' x = 1 ( b - a ) ∫ a b f ' ( x )

Como a integral da derivada de uma função é ela mesma:

f ' ( x ) = 1 b - a f ' x a b = f b - f ( a ) b - a

Passo 4

Qual a interpretação disso?

Bem, o valor médio da inclinação da tangente é o valor da inclinação da secante que passa pelos ponto ( a , f a ) e ( b , f b ) . Como assim?? Desenhando o gráfico, fica melhor:

Enfim, era só pra perceber que o ângulo da tangente e da secante é o mesmo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. (Suponha que f e g denotem funções contínuas num intervalo [ a,b ] e que f m e g m denotem os respectivos valores médios de
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. (Suponha que f e g denotem funções contínuas num intervalo [ a,b ] e que f m e g m denotem os respectivos valores médios de
(a) A temperatura de uma barra de metal com 10m e t r o s de comprimento é de 15 ° C em uma ponta e de 30 ° C na outra. Supondo que a temperatura aumenta linearmente do extremomais frio para o mais qu
A água está fluindo a uma taxa constante de 1p é 3 / m i n é para encher um tanque cilíndrico com 3p é és de raio e 5p é s é de altura. Supondo que o tanque esteja vazio inicialmente, faça uma conject
(a) Suponha que a função velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado seja v ( t ) = 3 t 3 + 2 . Encontre a velocidade média da partícula no intervalo detempo 1 ≤ t ≤ 4 por in