Enunciado

Seja g x = x x 2 + 1 .

  1. Determine os pontos do gráfico de g em que as retas tangentes, nestes pontos, sejam paralelas ao eixo x .
  2. Estude o sinal de g ' x .
  3. Calcule lim x → + ∞ ⁡ g x e lim x → - ∞ ⁡ g x .
  4. Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de g .

Passo 1

  1. Vamos lá, primeiro temos que o coeficiente angular m da reta é igual a derivada da função:
  2. m = f ' x

    Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

    f x h x ' = f ' x h x - f x h ' x h x 2

    Temos que:

    f x = x

    e

    h x = x 2 + 1

    Vamos agora só montar na fórmula:

    g ' x = x x 2 + 1 ' = x ' ⋅ x 2 + 1 - x ⋅ x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

    Passo 2

    Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

    x n ' = n x n - 1

    Assim:

    f ' ( x ) = x ' = x 1 - 1 = 1 ⋅ x 0 = 1

    Com h ' ( x ) além da regra do polinômio vamos usar a da função constante:

    c ' = 0

    Aplicando:

    h ' ( x ) = x 2 + 1 ' = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x 1 = 2 x

    Passo 3

    Agora é só substituir na expressão e pronto:

    g ' x = x x 2 + 1 ' = f ' x h x - f x h ' x h x 2 = x ' ⋅ x 2 + 1 - x ⋅ x 2 + 1 ' x 2 + 1 2 = 1 ⋅ x 2 + 1 - x ⋅ 2 x x 2 + 1 2 = x 2 + 1 - 2 x 2 x 2 + 1 2 = 1 - x 2 x 2 + 1 2

    Passo 4

    Agora temos que para que a reta seja paralela ao eixo x , o coeficiente angular da reta deve ser igual a zero, ou seja, o que acabamos de achar no passo anterior:

    1 - x 2 x 2 + 1 2 = 0 → 1 - x 2 = 0 → x 2 = 1 → x = ± 1

    Por último é só substituir na equação da reta para achar os pontos:

    g 1 = 1 1 2 + 1 = 1 2

    g - 1 = - 1 - 1 2 + 1 = - 1 2

    Os pontos são:

    1 , 1 2 e - 1 , - 1 2

    Passo 5

  3. Vamos agora estudar o sinal de g ' x = 1 - x 2 x 2 + 1 2 .
  4. Aqui o que nos importa é o numerador, já que o denominador vai ser sempre positivo.

    Como achamos uma equação do segundo grau, temos que a = - 1 , como a < 0 então a concavidade da parábola é voltada pra baixo.

    Vamos então achar as raízes:

    1 - x 2 = 0 → x 2 = 1 → x = ± 1

    As raízes ficam no gráfico da seguinte forma:

    Temos então que g ' x > 0 quando:

    - 1,1

    E g ' x < 0 :

    - ∞ , - 1 e 1 , + ∞

    Passo 6

  5. Vamos calcular os limites:
  6. Vamos manipular um pouco a expressão, isolando x no denominador:

    lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x x x + 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 1 x

    Vamos analisar o denominador que achamos, quando aplicarmos o limite vamos ficar com ∞ + 1 ∞ , temos que 1 ∞ vai para 0 , assim vamos ficar com , e agora ficamos com 1 ∞ novamente, assim o nosso limite é igual a 0 :

    lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 1 x = 0

    Da mesma forma temos para tendendo a - ∞ :

    lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ x x x + 1 x = lim x → - ∞ ⁡ 1 x + 1 x = 0

    Passo 7

  7. Vamos fazer um esboço do gráfico da função utilizando as raízes e atribuindo alguns pontos aleatórios, assim temos:

Resposta

  1. 1 , 1 2 e - 1 , - 1 2
  2. g ' x > 0 em - 1,1 , g ' x < 0 em - ∞ , - 1 e 1 , + ∞
  3. lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 1 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

15-16 A função s ( t ) descreve a posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t está em segundos.a)Faça uma tabela mostrando a posição, a velocidade e a
15-16 A função s ( t ) descreve a posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t está em segundos.a)Faça uma tabela mostrando a posição, a velocidade e a
A função s(t) descreve a posição de uma partícula movendo - se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t está em segundos. (a) Encontre as funções velocidade e aceleração. (b) Encontre
13. A figura abaixo mostra o gráfico velocidade versus tempo em um teste. Usando esse gráfico,estime: (a) A aceleração a 60 milhas por hora(em pés por segundo ao quadrado, lembrando que 1m i l h a / h
17-22 A função s ( t ) descreva a posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t está em segundos.a)Encontre as funções velocidade e aceleração.b)Encontr