Enunciado

Seja f uma função definida em um intervalo [ a ,   b ] . Que condições você acrescentaria a f para garantir que

min ⁡ f ' ≤   f b - f ( a ) b - a ≤ max ⁡ f '

onde min ⁡ f ' e max ⁡ f ' se referem respectivamente aos valores mínimo e máximo de f em [ a ,   b ] ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos que f ' é contínuo dentro do intervalo [ a ,   b ] , com isso o teorema do valor médio nos garante que existe um ponto c tal que f b - f a b - a = f ' c , queremos acrescentar alguma condição para garantir a desigualdade apresentada com suas respectivas descrições.

Passo 2

Se f ' ( x ) é contínua, dentro desse intervalo, devemos ter um máximo e um mínimo valor para f ' ( x ) no mesmo intervalo isso é garantido pelo teorema de Weierstrass, sendo assim a desigualdade min ⁡ f ' ≤ f ' c ≤ max ⁡ f ' vai ser garantida.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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